Wie transformiert sich A bezüglich der Basis, wenn A die Koordinatenmatrix (a) einer linearen Abbildung ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) bezüglich der Standardbasis.

Wie transformiert sich A bezüglich der Basis { \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\2\\ \end{pmatrix} \)}  wenn A die Koordinatenmatrix (a) einer linearen Abbildung bzw. (b) eines Trägheitstensors ist?

Problem/Ansatz:

Meine Überlegung: Das Matrixelement a₁₂ wird um den Faktor 3 gestreckt.

Answer 1

Aloha :)

Die Matrix \(A\) ist bezüglich der Standardbasis \(S\) gegeben:$${_S}\mathbf A_S=\mathbf A=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}$$Die Koordinaten der neuen Basis \(B\) sind ebenfalls bezüglich der Standardbasis \(S\) gegeben, sodass wir die Übergangsmatrix von \(B\) nach \(S\) kennen:$${_S}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2\end{pmatrix}$$

zu (a) Die Abbildung \(\mathbf A\) transformiert sich wie folgt:$${_B}A_B={_B}\mathbf{id}_S\cdot{_S}\mathbf A_S\cdot{_S}\mathbf{id}_B=\left({_S}\mathbf{id}_B\right)^{-1}\cdot{_S}\mathbf A_S\cdot{_S}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}\frac12 & \frac72\\[1ex]\frac12 & -\frac12\end{pmatrix}$$

zu (b) Hier ist mir nicht ganz klar, was gemeint ist. Vermutlich wird hier auf die Hauptachsentransformation bzw. die Diagonalisierung angespielt. Da bin ich mir aber nicht sicher, vielleicht hat jemand eine Idee?

Comments

Danke. Ich hab es bei b) mit dem Hintergedanken der Hauptachsentransformation berechnet. Hab das herausbekommen:

D = \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)