Wie diese Gleichung vereinfachen?

Question

Aufgabe:

Wie komm ich „rechnerisch“ auf diese Lösung?

-3=20*lg x

Lösung ist \( \frac{1}{2} \) *\( \sqrt{2} \) ≈0,7

Problem/Ansatz:

Ich komme zu:

\( \frac{-3}{20} \) =lg x

\( 10^{\frac{-3}{20}} \) =x

\( \frac{1}{\sqrt[20]{1000}} \)

Wie gehts dann weiter um auf die Lösung zu kommen?

Comments

\(\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\ne 0.708\)

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keinen Taschenrechner braucht
ohne Taschenrechner wird man es wohl kaum
schaffen.

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keinen Taschenrechner braucht
ohne Taschenrechner wird man es wohl kaum
schaffen.

Der Frager hat es doch offenbar ohne Taschenrechner richtig gemacht. Das Problem besteht doch darin, dass die angegebene "Lösung" falsch ist. Auch das kann man ohne Taschenrechner einsehen.

Answer 1

\(20*lg x=-3\)

\(lg x=-\frac{3}{20}\)

\(x=10^{-\frac{3}{20}}≈0,708\)

Comments

Diesen Schritt hab ich als vorletzten bereits.

Mein Ziel ist es das Ding soweit zu vereinfachen dass man auf die \frac{1}{2} \( \sqrt{2} \)kommt, und keinen Taschenrechner braucht um auf die 0,7 zu kommen.

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Annahme: \( \frac{\sqrt 2}{2}=10^{-\frac{3}{20}}\)

Wir nehmen beide Seiten hoch 20 und erhalten

\( \frac{1}{1024}=\frac{1}{1000} \).

Finde den Fehler.

Answer 2

Wie geht's dann weiter um auf die Lösung zu kommen?

Die "Lösung" ist offenbar die Brechstangenabschätzung \(10^3\approx 2^{10}\): $$ \dfrac{1}{\sqrt[20]{1000}} = \dfrac{1}{\sqrt[20]{10^3}} \approx \dfrac{1}{\sqrt[20]{2^{10}}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2}. $$ Was ist der Hintergrund dieser seltsamen Frage?

Comments

Wo ich so drüber nachdenke, ist die Frage gar nicht so "seltsam", wie ich dachte. Wenn es darum geht, die Gleichung "-3=20*lg x" ohne alle Hilfsmittel näherungsweise zu lösen, ist die genannte Abschätzung der Weg, die Lösung im Kopf zu bestimmen.