Question

wie kann ich diesen Term soweit wie möglich vereinfachen ?

\( \ln \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)-\frac{1}{4} \cdot \ln x+\frac{1}{10} \cdot \ln \left(\frac{\sqrt{x}}{{x^3}}\right) \)

Ich würde mich freuen und würde den größten Lerneffekt daraus ziehen, wenn mir jemand aufzeigen könnte wie man das schrittweise vorgeht.

Viele Grüße

Anmerkung: Nun steht die Aufgabe richtig oben, nachdem ich mich verschrieben habe

Answer 1

Hallo,

ein paar Regeln muss man dazu wissen:$$\ln\left(a^b\right) = b \cdot \ln(a) \\\ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)\\ \frac 1a = a^{-1} \\ \sqrt{a} = a^{\frac12} \\ a^x \cdot a^y = a^{x+y}$$daraus folgt dann auch gleich, dass $$\frac 1{\sqrt x} = x^{-\frac12}$$Und nun alle Ausdrücke in die Hochzahl-Notation bringen und anschließend die erste Regel anwenden:$$\phantom{=} \ln\left(\frac1{\sqrt x}\right) - \frac 14\ln(x) + \frac1{10} \ln\left(\frac{\sqrt x}{3}\right) \\= \ln\left(x^{-\frac12}\right) -\frac14 \ln\left(x\right) +\frac1{10} \left(\ln\left(x^{\frac12}\right)- \ln(3)\right)\\= -\frac12  \ln\left(x\right) - \frac14 \ln\left(x\right) + \frac1{10}\cdot\left( \frac12 \ln\left(x\right) - \ln(3)\right)\\ = \left(-\frac12 -\frac14 + \frac1{20}\right) \ln(x) - \frac1{10}\ln(3)\\=-\frac{7}{10}\ln(x) - \frac1{10}\ln(3)$$Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Darstellung. Damit kann ich sehr gut arbeiten... mein Problem ist dass ich mich oftmals von Ausdrücken wie "ln" verwirren lass und ein kleiner Fehler dann zu unsinnigen weiteren Rechenschritten führt.

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ich hätte schwören können, dass da vorher \(\ln\left(\frac{\sqrt x}{x^3}\right)\) am Ende des Terms gestanden ist. Dann wäre das Ergebnis \(-\ln(x)\) gewesen!

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Stimmt, jetzt habe ich einen kompletten Fehler gemacht und 2 Aufgaben durcheinander gebracht. Entschuldigung,

Richtig sollte der Ausdruck in der letzten Klammer lauten:

Wurzel von x geteilt durch x hoch 3.

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Danke, dass du so schnell warst und auch meine "falsch" geschriebene Aufgabe beantwortet hast.

Answer 2

Also schrittweise:

Statt \(r\cdot ln\; a\) kannst du \( ln\; a^r\) schreiben.

\( \sqrt{x} \) ist das Gleiche wie \( x^{\frac 1 2} \).

ln(a) - ln(b) kann als \(ln \frac{a}{b} \) geschrieben werden.

ln(a) + ln(b) kann als \(ln \;(a\cdot b) \) geschrieben werden.

Comments

Auch Dir vielen Dank für die Antwort. Ich muss mir unbedingt aneignen die grundsätzlichen LogarithmenRegeln anwenden zu können.