Aufgabe: Folgenden Grenzwert mit der Taylorreihe herleiten $$\lim\limits_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x}=1$$
Problem/Ansatz:
Hallo liebe Leute,
ich hab zuletzt versucht den obigen Grenzwert zu verstehen. Man kann diesen ja durchaus mit Eingrenzung durch Tangens herleiten - soweit auch logisch -, jedoch hab ich in einer Herleitung mit der Taylorreihe die Umformung von (3) zu (4) nicht verstanden. Hier ist die gesamte Herleitung mit Erklärtext:
(Quelle: https://matheguru.com/analysis/beweis-fur-den-grenzwert-von-sinxx-fur-x-gegen-0.html)
$$sin(x)=x+\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\\text{(1) }\lim\limits_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x+\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}\\\text{(2) }\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{x}+\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}\\\text{(3) }1+\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{x}\\\text{(4) }1+\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{x^{2n}}{(2n)!}}{1}\\\text{(5) }1+\lim\limits_{x\to 0}\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\\text{(6) }1+\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\frac{0^{2n}}{(2n)!}\\\text{(7) }=1+0\\\text{(8) }=1$$
(1) Wir ersetzen den Sinus aus dem Grenzwert durch seine Reihendarstellung
(2) Mit der Produktregel für Grenzwerte können wir aus dem einen Grenzwert zwei machen
(3) Durch die Anwendung der Regel von de l'Hopital können wir den Grenzwert lim_(x->0) x/x bestimmen
(4) Die Reihe lässt sich noch weiter vereinfachen
(5) Division durch 1
(6) Grenzwert berechnen. Wie man am Bruch (in der Summe) sehen kann, hat die Potenz im Zähler die Basis 0. Definitionsgemäß ist jede Potenz mit der Basis 0 gleich 1. Der Nenner hingegen hat eine Fakultät, die mit zunehmenden Werten von n immer schneller wächst...
(7) ...Die Summe beträgt damit 0
(8) Somit ist der Grenzwert gleich 1
Q.E.D.
Soweit mein Verständnis reicht:
$$x^{2n+1}=x^{2n}*x$$
Letzteres x wird dann mit dem Nenner gekürzt, jedoch verstehe ich nicht was bei der Fakultät passiert? $$(2n +1)! >>>(2n)!$$
Es wäre ja möglich Folgendes zu machen: $$(2n+1)!>>>(2n)!*(2n+1)$$ Dabei kürzt sich letzterer Faktor jedoch nicht weg? Es ist für das Endergebnis natürlich irrelevant, aber ist das ein Rechenfehler/Tippfehler o. Ä. oder steht dahinter eine tiefere Bedeutung/Regel?
Danke für alle Antworten schonmal vorab :D!
