Der zweite Bruch wurde wie folgt umgeformt:
$$\frac{1/3}{x-2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(-2)\left(1-\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$Mit \(q=\frac{x}{2}\) heißt das:
$$-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-q}=-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^n$$
Das Zusammenfassen der beiden unendlichen Reihen zu einer Reihe ist nur erlaubt, wenn beide Reihen konvergieren. Die geometrischen Reihe konvergiert für \(|q|<1\). Daher muss für die Konvergenz der ersten Reihe \(|-x|<1\) gelten und für die Konvergenz der zweiten Reihe \(\left|\frac{x}{2}\right|<1\). Also \(|x|<1\) und \(|x|<2\). Da beide erfüllt sein müssen, gilt die Näherung nur für \(|x|<1\).
Das reicht aber auch völlig aus, denn wir sollen ja die Taylor-Reihe in der Näher von \(x=0\) angeben, das heißt für \(x\ll1\).