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Ich habe folgende Funktion gegeben: \(f=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}\)

Nun soll ich mit einer Partialbruchzerlegung und einer geometrischen Reihe die Taylorreihe im Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\) aufstellen. Außerdem soll das größtmögliche Intervall angegeben werden, auf dem diese Taylorreihe mit der Funktion f übereinstimmt.


Ich habe die Partialbruchzerlegung bereit gelöst, dabei komme ich auf: \(\frac{2/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2}\) bzw. auf \(\frac{2}{3} * (x+1)^{-1} + \frac{1}{3} * (x-2)^{-1}\)

Wie kann ich daraus jetzt die Taylorreihe im Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\) aufstellen?
Vielen Dank!

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Partialbruchzerlegung ist richtig:$$f(x)=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{2/3}{x+1}+\frac{1/3}{x-2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+x}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$Da wir hier um \(x=0\) herum entwickeln sollen, können wir \(x\ll1\) annehmen. Daher bietet sich die Nutzung der Summenformel für die geometrische Reihe an$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für}\quad|q|<1$$Den ersten Bruch erhalten wir durch die Wahl \(q=-x\) und den zweiten Bruch durch die Wahl von \(q=\frac{x}{2}\). Konkret sieht das so aus:

$$f(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-(-x)}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{2}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^n$$Innerhalb des Konvergenzradius beider Summen können wir sie zusammenfassen:

$$f(x)=\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(4(-1)^nx^n-\frac{x^n}{2^n}\right)=\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(4(-1)^n-\frac{1}{2^n}\right)x^n$$

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank für die Antwort! Jetzt verstehe ich, wieso man die geometrische Reihe verwenden soll.
Wieso ist es aber plötzlich bei der Partialbruchzerlegung auf der rechten Seite dann -1/6 statt 1/3? Ich glaube ich übersehe hier etwas...
Hier meine ich:

\(f(x)=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{2/3}{x+1}+\frac{1/3}{x-2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+x}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)

Wie kommt man also von \(+\frac{1/3}{x-2}\) auf \(-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)

Außerdem: Wie kommt man für den zweiten Bruch auf das \( q = \frac{x}{2} \) ?
Und zu dem größtmöglichen Intervall, auf dem die Reihe mit der Funktion f übereinstimmt: Ist das dann einfach auch ganz R ohne 2 und -1 ?

Der zweite Bruch wurde wie folgt umgeformt:

$$\frac{1/3}{x-2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(-2)\left(1-\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$Mit \(q=\frac{x}{2}\) heißt das:

$$-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-q}=-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^n$$

Das Zusammenfassen der beiden unendlichen Reihen zu einer Reihe ist nur erlaubt, wenn beide Reihen konvergieren. Die geometrischen Reihe konvergiert für \(|q|<1\). Daher muss für die Konvergenz der ersten Reihe \(|-x|<1\) gelten und für die Konvergenz der zweiten Reihe \(\left|\frac{x}{2}\right|<1\). Also \(|x|<1\) und \(|x|<2\). Da beide erfüllt sein müssen, gilt die Näherung nur für \(|x|<1\).

Das reicht aber auch völlig aus, denn wir sollen ja die Taylor-Reihe in der Näher von \(x=0\) angeben, das heißt für \(x\ll1\).

Ah stimmt, vielen Dank! Das hat bereits sehr geholfen.
Im weiteren Aufgabenverlauf soll dann noch mit den Ergebnissen aus dieser Aufgabe die Taylorreihe der Funktion \( g(x) = \frac{1}{(2-x)^3} \) angegeben werden. Funktioniert das hier genauso?

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