Taylorreihe rationaler Funktionen aufstellen

Question

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Ich habe folgende Funktion gegeben: \(f=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}\)

Nun soll ich mit einer Partialbruchzerlegung und einer geometrischen Reihe die Taylorreihe im Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\) aufstellen. Außerdem soll das größtmögliche Intervall angegeben werden, auf dem diese Taylorreihe mit der Funktion f übereinstimmt.


Ich habe die Partialbruchzerlegung bereit gelöst, dabei komme ich auf: \(\frac{2/3}{x+1} + \frac{1/3}{x-2}\) bzw. auf \(\frac{2}{3} * (x+1)^{-1} + \frac{1}{3} * (x-2)^{-1}\)

Wie kann ich daraus jetzt die Taylorreihe im Entwicklungspunkt \(x_0 = 0\) aufstellen?
Vielen Dank!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Partialbruchzerlegung ist richtig:$$f(x)=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{2/3}{x+1}+\frac{1/3}{x-2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+x}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$Da wir hier um \(x=0\) herum entwickeln sollen, können wir \(x\ll1\) annehmen. Daher bietet sich die Nutzung der Summenformel für die geometrische Reihe an$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad\text{für}\quad|q|<1$$Den ersten Bruch erhalten wir durch die Wahl \(q=-x\) und den zweiten Bruch durch die Wahl von \(q=\frac{x}{2}\). Konkret sieht das so aus:

$$f(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-(-x)}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{2}{3}\sum\limits_{n=0}^\infty(-x)^n-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^n$$Innerhalb des Konvergenzradius beider Summen können wir sie zusammenfassen:

$$f(x)=\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(4(-1)^nx^n-\frac{x^n}{2^n}\right)=\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(4(-1)^n-\frac{1}{2^n}\right)x^n$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Jetzt verstehe ich, wieso man die geometrische Reihe verwenden soll.
Wieso ist es aber plötzlich bei der Partialbruchzerlegung auf der rechten Seite dann -1/6 statt 1/3? Ich glaube ich übersehe hier etwas...
Hier meine ich:

\(f(x)=\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}=\frac{2/3}{x+1}+\frac{1/3}{x-2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{1+x}-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)

Wie kommt man also von \(+\frac{1/3}{x-2}\) auf \(-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)

Außerdem: Wie kommt man für den zweiten Bruch auf das \( q = \frac{x}{2} \) ?
Und zu dem größtmöglichen Intervall, auf dem die Reihe mit der Funktion f übereinstimmt: Ist das dann einfach auch ganz R ohne 2 und -1 ?

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Der zweite Bruch wurde wie folgt umgeformt:

$$\frac{1/3}{x-2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(-2)\left(1-\frac{x}{2}\right)}=-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$$Mit \(q=\frac{x}{2}\) heißt das:

$$-\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{1-q}=-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=-\frac{1}{6}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{2}\right)^n$$

Das Zusammenfassen der beiden unendlichen Reihen zu einer Reihe ist nur erlaubt, wenn beide Reihen konvergieren. Die geometrischen Reihe konvergiert für \(|q|<1\). Daher muss für die Konvergenz der ersten Reihe \(|-x|<1\) gelten und für die Konvergenz der zweiten Reihe \(\left|\frac{x}{2}\right|<1\). Also \(|x|<1\) und \(|x|<2\). Da beide erfüllt sein müssen, gilt die Näherung nur für \(|x|<1\).

Das reicht aber auch völlig aus, denn wir sollen ja die Taylor-Reihe in der Näher von \(x=0\) angeben, das heißt für \(x\ll1\).

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Ah stimmt, vielen Dank! Das hat bereits sehr geholfen.
Im weiteren Aufgabenverlauf soll dann noch mit den Ergebnissen aus dieser Aufgabe die Taylorreihe der Funktion \( g(x) = \frac{1}{(2-x)^3} \) angegeben werden. Funktioniert das hier genauso?