So, der Grenzwert dieser Folge ist ja 1 das ist nicht schwer, aber wieso ist sie in dem ersten Fall bei der …

Question

Aufgabe:In C([-1,1]) betrachten Sie die Folge (fk) k Element n,x Element [-1,1]  fk(x) = kx^2/ (1 + kx^2) , k Element N, x Element [-1,1]

Problem/Ansatz:Zeigen Sie Die Folge ist bezüglich ||.|| Maximumnorm divergent wobei die Norm = sup{f(t) }

bezüglich der Eins Norm konvergent

So, der Grenzwert dieser Folge ist ja 1 das ist nicht schwer, aber wieso ist sie in dem ersten Fall bei der Maximumnorm divergent ? Das verstehe ich jetzt nicht, da bräuchte ich einen Hinweis, danke

Comments

Zunächst solltest Du Deine Aussage zur Konvergenz korrigieren. Was ist mit x=0?

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Ok das ist jetzt falsch von mir bei x = 0 ist der Grenzwert 0

Answer 1

Der punktweise Limes der Funktionenfolge liefert

bei \(x=0\) den Wert \(0\) und nur bei \(x\neq 0\) den Wert \(1\).

Daher ist die Limesfkt. an der Stelle \(0\) nicht stetig, die Funktionenfolge

also nicht gleichmäßig konvergent, also auch in der Supremumsnorm

nicht konvergent.

Comments

Ok Danke, sehr gut erklärt, die 1 Norm ist $$ \int \limits_{-1}^{1}  |f(t)| dt $$

das wäre dann $$ \int \limits_{-1}^{1}  x^2/1 + x^2 $$ das ist wenn ic mich nicht verrechnet habe x- arctan(x) ist das so richtig ? Und wie kriege ich das mit der Konvergenz hin ?

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$$\int_{-1}^1\left|\frac{kx^2}{1+kx^2}-\lim f_n(x)\right|dx\quad (*)$$Wenn wir die punktweise Limesfunktion

an der isolierten Stelle 0 abändern, "merkt das Riemann-Integral

es nicht", d.h. wir können die Limesfunktion durch die Konstante 1

ersetzen.

Damit wird das Integral \((*)\) zu$$\int_{-1}^1\frac{dx}{1+kx^2}=\frac{2}{\sqrt{k}}\arctan(\sqrt{k})$$

Du musst nun schauen, ob dieser Ausdruck gegen 0 strebt,

wenn \(k\rightarrow \infty\).

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Danke nochmal für die Hilfen hier, langsam kommt Licht in mein Dunkel,.