Seien K ein Körper und A ∈ GLn(K) für ein n ∈ N.

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper und A ∈ GLn(K) für ein n ∈ N.
Beweisen Sie, dass die Mengen aller Eigenvektoren von A und A−1 gleich sind.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier nicht wie man hier die Aufgabe macht.

Answer 1

Sei v ein Eigenvektor von A. Dann gilt  :

Es gibt ein x∈K mit  A*v=x*v und v ist nicht der Nullvektor.

==>                  A^(-1) * (A*v) = A^(-1)* (x*v) = x* A^(-1)*v

==>                             E * v =  x* A^(-1)*v

==>                                   v =   x* A^(-1)*v

Da A∈ GLn(K) ist, ist 0 kein Eigenwert, also gilt auch

                              1/x * v = A^(-1)*v

also ist v auch ein Eigenvektor von A^(-1) .

Entsprechend folgt auch

v Eigenvektor von A^(-1) ==> v Eigenvektor von A.