Aber wie komme ich auf die zweite Zeile?(charakteristisches Polynom /Nullstellen)

Question

Nullstellen eines charakteristischen Polynoms bestimmen durch Umformung.

Bin nun hier:

\( =\lambda^{3}-4 \lambda^{2}-\lambda+4 \)
\( =(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-4) \)

gelandet.

Aber wie komme ich auf die zweite Zeile?

Also auf das:

\( =(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-4) \)

Gibt es hier eine Art Algorithmus oder ein bestimmtes Vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

In der zweiten Spalte wurde das Polynom in Linearfaktoren zerlegt. Dafür muss man die Nullstellen kennen. Hier hat der Vorrechner ausgenutzt, dass alle ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms Teiler der Zahl ohne \(\lambda\) sein müssen. Im Polynom$$p(\lambda)=\lambda^3-4\lambda^2-\lambda+4$$suchen wir die Teiler der \(4\) am Ende. Das sind \(\pm1\), \(\pm2\) und \(\pm4\). Unter diesen Teilern müssen sich alle ganzzahligen Nullstellen finden. Ausprobieren der Kandidaten liefert Nullstellen bei \(1\), \((-1)\) und \(4\). Da ein Polynom 3-ten Grades maximal 3 Nullstellen haben kann, sind wir fertig und können alle Linearfaktoren hinschreiben:$$p(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-4)$$

Mit diesem Verfahren kann man sich sehr oft aufwändige Polynomdivisionen ersparen.

Comments

Solche Fälle sind eher selten.

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Perfekt das war genau die Antwort nach der ich gesucht hatte! Danke :)

Nur sicherheitshalber, damit ich jetzt nicht irgendwas missverstanden habe. Da wir am Ende eine 4 haben kommen für uns nur ganzzahlige Teiler der Zahl 4 in betracht? Außerdem da es sich hier um cp des grades 3 handelt gibt es nur 3 maximal also gilt es nun unter den Teilern von 4 die Nullstellen zu finden? Und das geht hier mittels der Variante nur durch einsetzten der Teiler?

Was mache ich wenn mal hinten keine Zahl steht? Aber ein cp des 3. grades gegeben ist?

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Wenn du hinten keine "nackte" Zahl hast, ist \(x=0\) eine Nullstelle und du kannst \(x\) ausklammern:$$x^4-6x^3+11x^2-6x=x\cdot(x^3-6x^2+11x-6)$$Jetzt kannst du mit dem Polynom in Klammern wir oben beschrieben verfahren. Teiler von \((-6)\) sind \(\pm1,\pm2\,\pm3\,\pm6\). Nullstellen liegen bei \(1\), \(2\) und \(3\):$$x^4-6x^3+11x^2-6x=x(x-1)(x-2)(x-3)$$

Answer 2

Polynomdivision, erste Nullstelle raten, muss ganzzahliger Teiler von 4 sein!

Comments

Vielen Dank. Aber wieso von 4?