Das spitzwinklige Dreieck, die Quadrate und die Beweise

Question

Aufgabe:

Auf die Seiten eines spitzwinkligen Dreiecks seien (nach außen hin) Quadrate errichtet worden. Veranschaulichen und beweisen Sie die folgenden Sätze:

a) die verlängerten Höhen des Dreiecks teilen die drei Quadrate so in sechs Rechtecke, dass je zwei an einer Ecke zusammenstoßende Rechtecke flächengleich sind.

b) Verlängert man nur eine der Höhen des Dreiecks, so teilt diese eines der drei Quadrate in zwei Rechtecke und zwar so, dass die Flächensummen aus je einem Quadrat und dem gegenüberliegenden Rechteck gleich sind.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

zu a)

Die beiden rechtwinkligen Dreiecke \(\triangle ABM\) und \(\triangle ACN\) stimmen in zwei Winkeln überein (\(\alpha\) ist blau markiert), und sind somit ähnlich. Daraus folgt:$$\frac ec = \frac db = \cos \alpha$$Das obere grün markierte Rechteck \(AMLD\) hat die Fläche$$F_1 = e \cdot b = \frac ec \cdot c \cdot b = bc \cos\alpha$$und das untere grün markierte Rechteck \(AEON\) hat die Fläche$$F_2 = d\cdot c = \frac db \cdot b \cdot c = bc \cos\alpha$$Daraus folgt \(F_1=F_2\), die beiden Rechtecke haben den gleichen Flächeninhalt.

zu b)

Aus dem obigen folgt, dass Flächen gleicher Farbe gleich groß sind. Betrachte das Quadrat \(BFGC\) über \(a\), so liegt diesem Quadrat das (gelbe) Rechteck \(AEON\) gegenüber. Die gemeinsame Flächensumme ist genauso groß wie die Summe der Flächen aus dem Quadrat über \(b\) und dem grünen Rechteck.

Gruß Werner