Beweis ohne worte Quadrate als Flächen.

Question

Aufgabe:

Geben Sie für die nachstehenden Sachverhalte jeweils einen Beweis ohne Worte
(1) Die Eckenwinkel eines Sterns summieren sich zu π
(2) Verbindet man die Ecken eines Quadrates geradlinig mit den Mittelpunkten der gegenüber liegenden Seiten, so beträgt die Fläche des dadurch entstandenen inneren Quadrates ein Fünftel der Fläche des Ausgangsquadrates.
(3) Summenformel von Gauß:
1+2+3+⋯+n=n(n+1)/2

(4) Summe von Quadraten von Fibonacci-Zahlen:
F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+1+Fn(n∈N)⇒F21+F22+⋯+F2n=FnFn+1

F1 = 1, F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn (n ∈ N) ⇒ F2
1 + F2
2 + · · · + F2
n = FnFn+1
Tipp: (1) Betrachten Sie den Sachverhalt an einem Fiunfeck.
(2) - (3) - (4) Betrachten Sie die einzelnen Quadrate
als Flächen.

Comments

Beweis ohne Worte

Kannst du das mal näher erläutern?

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Das scheint eine neue "didaktische" Modeerscheinung zu sein.

Mit der Suchfunktion findest du etliche Fragestellungen zu solchen "Beweisen".

Ohne Worte.

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"Ohne Worte" wird oft gezeichnet.

Z.B. ein Dreieck mit einem Rechteck verglichen.

(3) Summenformel von Gauß:
1+2+3+⋯+n=n(n+1)/2

Answer 1

Hallo Julia,

(1) Definiere "Stern"! Ich postuliere mal ein Stern entsteht, wenn man eine ungerade Anzahl \(n\) von Punkten auf dem Umfang eines Kreises plaziert und sie mit einem geschlossenen Polygonzug derart verbindet, dass jeweils der \(i\)'te Punkt mit dem \(((i + (n-1)/2) \mod n)\)'ten Punkt verbunden ist. Die Punkte müssen dazu nicht zwingend gleichmäßig verteilt sein.

Beim regelmäßigen Fünfeck kann das so aussehen:

ist aber noch zu speziell - allgemein kann man es wohl besser beim 7-eckigen Stern zeigen:

(2) es gibt ja diese bekannten Bilder vom Beweis des Satzes von Pythagoras. Hier ist es ähnlich:

(3) s. Anwort von MontyPython

(4) Wikipedia kennst Du doch. Da findet man dann unter der Fibonacci-Folge auch das passende Bild zu $$\sum_{i=0}^n F_i^2 = F_n \cdot F_{n+1}$$

Falls Du dazu noch Frage hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Answer 2

zu 3)

Zeichne ein Rechteck, bei dem eine Seite 1cm länger ist als die andere, z.B. 5cm und 6cm.

Zeichne nun eine Treppe von oben nach unten, sodass erst 1cm^2, dann 2cm^2 usw. bis 5cm^2 die Stufen bilden.

Es entstehen zwei kongruente Figuren, von denen jede 1+2+3+4+5 symbolisiert, während das ganze Rechteck 5*(5+1) darstellt.