Aufgabe:
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit folgendem PMF (diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion):
\( P_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0.1 & \text { for } x=0.2 \\ 0.2 & \text { for } x=0.4 \\ 0.2 & \text { for } x=0.5 \\ 0.3 & \text { for } x=0.8 \\ 0.2 & \text { for } x=1 \\ 0 & \text { otherwise }\end{array}\right. \)
Finden Sie P(X=0,2|X<0,6)
Problem/Ansatz:
Die loesung:
\( P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \).
\( \begin{aligned} P(X=0.2 \mid X<0.6) &=\frac{P((X=0.2) \text { and }(X<0.6))}{P(X<0.6)} \\ &=\frac{P(X=0.2)}{P(X<0.6)} \\ &=\frac{P_{X}(0.2)}{P_{X}(0.2)+P_{X}(0.4)+P_{X}(0.5)} \\ &=\frac{0.1}{0.1+0.2+0.2}=0.2 \end{aligned} \)
warum P((X=0.2) and (X<0.6)) ist nicht gelich P(X=0.2) * P(x<0.6) = 0.1* (0.2+0.2+0.1) aber nur gleich P(X=0.2) = 0.1?
da \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \).
