Fläche, die von den Graphen der Funktionen eingeschlossen wird

Question

Aufgabe:

Berechne den Inhalt des Flächenstücks das von den Graphen der Funktionen f und g begrenzt wird! In welchem Verhältnis wird dieses Flächenstück von der durch die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen verlaufenden Geraden geteilt ?

a)  f(x)=x^2-2x+1   g(x)=-2x^2+10x+16

Problem/Ansatz:

Ich habe die Fläche berechnet, weiß aber nicht wie man das Verhältnis bestimmt.

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iIch habe die Fläche berechnet

Mit welchem Ergebnis?

Answer 1

Das Verhältnis der Flächeninhalte beträgt:

\(\Large \frac{\int\limits_{-1}^{5}(g(x) - (2x+6)) \, dx}{\int\limits_{-1}^{5}(2x+6- f(x)) \, dx } \)

Comments

Daumen hoch.

Mal sehen, ob sich noch jemand findet, der sogar das noch dem Fragesteller vorrechnet.

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Daran zweifle ich keinen Moment, dass ein Lernerfolgsverhinderer auftauchen wird. Auch wenn es eine Fragestellerin ist.

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Die beiden Teilflächeninhalte und deren Quotient können mittlerweile a.a.O. auf dieser Seite abgelesen werden.

Answer 2

Hallo,

In welchem Verhältnis wird dieses Flächenstück von der durch die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen verlaufenden Geraden geteilt ?

Schau Dir dazu die folgende App an:

https://www.desmos.com/calculator/gnhxf2ynzm

Die rote Parabel ist der Graph von \(f(x)\) und die blaue gehört zu \(g(x)\). Wenn Du nun den Punkt \((5;\,16)\) mit der Maus nach unten ziehst, so dass seine Y-Koordinate bei \(y=4\) liegt, so ist das eine Scherung des gesamten Gebildes. Durch eine Scherung wird der Flächeninhalt nicht verändert!

Und weil der Betrag des Koeffizienten vor \(x^2\) bei \(g(x)\) \(=2\) ist, und der bei \(f(x)\) \(=1\), so ist das Parabelstück über der Trennungslinie genau doppelt so hoch und damit auch doppelt so groß wie das von \(f(x)\). Die Flächen verhalten sich also im Verhältnis$$2 \div 1$$da$$g(x)=-{\color{red}2} \cdot x^2+10x+16 \\ f(x)={\color{red}1}\cdot x^2-2x+1$$das ist alles und funktioniert bei Parabeln immer!

Gruß Werner

Answer 3

Ich habe die Fläche berechnet, weiß aber nicht wie
man das Verhältnis bestimmt.

Berechnen
1. Die Differenzfunktion zwischen f und g
2.Die Schnittpunkte zwischen f und g ( -1, 5 )
3.Die Fläche zwischen f und g ( 108 )
4. Die Gerade ( h ) zwischen den Schnittpunkten
5. Die Differenzfunktion zwischen f und h
6. Die Fläche zwischen f und h = A
7. Das Verhältnis A / Gesamtfläche

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7. Das Verhältnis A / Gesamtfläche

Falsch.

Richtig wäre Verhältnis

A / (Gesamtfläche - A)

Answer 4

Bestimme zunächst die Funktionsgleichung der Verbindungsgeraden der Beiden Schnittpunkte. Kleiner Tipp. Eine Kontrollösung existiert hier bereits.

Bestimme dann die Fläche zwischen der Geraden und dem obener Parabelbogen sowie die Fläche zwischen der Geraden und dem unteren Parabelbogen.

Letzteres ist die Gesamtfläche minus der oberen Fläche.

Bestimme dann das Verhältnis der Beiden Flächen.

A1 : A2 = 72 : 36 = 2 : 1

Wie man sieht kann man die Aufgabe auch sehr gut mit Geogebra zum Vergleich lösen.

Weiterhin entwickelt man durch grafische Nachbildung auch ein Verständnis für solche Aufgaben.

Comments

Gewinnspiel: döschwo hat in unnachahmlicher Weitsichtigkeit vorhergesagt, dass ein

Lernerfolgsverhinderer auftauchen wird.

Glückwunsch!

Du hast gewonnen!

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Du hast gewonnen!

hat er nicht ;-)

auf die wirklich gute Antwort - die mit dem Aha-Erlebnis (!) - ist bis jetzt noch keiner gekommen! Es geht wahrlich viel einfacher. Und der Lernerfolg steht folglich noch aus.

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die wirklich gute Antwort - die mit dem Aha-Erlebnis (!)

Ich nehme an, Meister wollen darauf hinaus, dass die Differenzfunktion der oberen Teilfläche das Doppelte der Differenzfunktion der unteren Teilfläche ist... darum ist die Aufteilung im Verhältnis 2:1. Mir ging es aber darum, dass die Fragestellerin in den letzen paar Tagen wiederholt gezeigt hat, dass sie Integrationen nicht kann.

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Meister wollen darauf hinaus, dass die Differenzfunktion der oberen Teilfläche das Doppelte der Differenzfunktion der unteren Teilfläche ist...

auch das ist nicht nötig. Siehe meine Antwort.