Aloha :)
Zur Bestimmung der Fläche zwischen den Graphen der beiden Funktionen$$f(x)=\sin(x)\quad\text{und}\quad g(x)=0,5$$bilden wir zuerst die Differenzfunktion$$d(x)\coloneqq f(x)-g(x)=\sin(x)-0,5$$und brauchen ihre Nullstellen als Integrationsgrenzen:$$\left.d(x)\stackrel!=0\quad\right|\text{Funktion einsetzen}$$$$\left.\sin(x)-0,5=0\quad\right|+0,5$$$$\left.\sin(x)=0,5\quad\right|\arcsin(\cdots)$$$$x=\arcsin(0,5)\;\lor\;x=\pi-\arcsin(0,5)$$$$x=\frac\pi6\;\lor\;x=\frac{5\pi}{6}$$
Damit können wir nun das Integral für die Fläche formulieren:$$F=\left|\int\limits_{\pi/6}^{5\pi/6}d(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\sin(x)-0,5\right)dx\right|=\left|\left[-\cos(x)-0,5x\right]_{\pi/6}^{5\pi/6}\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac{5\pi}{12}\right)-\left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\right|=\left|\sqrt3-\frac{4\pi}{12}\right|=\sqrt3-\frac{\pi}{3}\approx0,6849$$
