Konvergenz und Grenzwert bei Reihe

Question

Aufgabe:

Guten Tag,

ich soll diese Reihe auf Konvergenz überprüfen und den Grenzwert berechnen.

\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{5^{n-1}} \)

Problem/Ansatz:

Ich komme leider beim Grenzwert nicht weiter. Wie wäre hier die Vorgehensweise ?

Danke

Edit.: Ich würde mich über eine generelle Vorgehensweise bei Grenzwerten freuen, da ich denke, dass es nicht Sinn der Sache ist, dass ich es einfach am Taschenrechner mit immer größer werdenden Zahlen probiere.

Comments

$$ \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{5^{n-1}} = 5 \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{2^{n}}{5^{n}} = 5 \sum \limits_{n=2}^{\infty} \left( \frac{2}{5}\right)^n$$

Dann sollte dir was auffallen.

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Wie genau hast du die 5 aus dem Bruch bekommen und dabei die -1 aus dem Exponenten bekommen ?

@MatHaeMatician

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Wie genau hast du die 5 aus dem Bruch bekommen und dabei die -1 aus dem Exponenten bekommen ?

Du multiplizierst den Summanden mit 5/5 = 1 und wendest dann allgemein bekannte Rechenregeln an.

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Wie du auf die 5 kommst, weiß ich. Die Frage war eher, wie du aus dem Exponenten die -1 rausgeworfen hast in Verbindung mit der 5.

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Nach den Potenzgesetzen gilt doch \( 5 \cdot 5^{n-1} = 5^{1+(n-1)} = 5^n \)?

(Das Ergebnis von Gast2016 ist übrigens richtig)

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5^(n-1) = 5^n*5^-1  = 5^n/5

1/(5^n/5) = 5/5^n

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Danke euch. Kam gerade nicht auf das Potenzgesetz.

Edit.: Hatte kurz einen Blackout im Hirn.

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Nach den Potenzgesetzen gilt doch \( 5 \cdot 5^{n-1} = 5^{1+(n-1)} = 5^n \)?(Das Ergebnis von Gast2016 ist übrigens richtig)

Demnach hätte ich am Ende 5*0=0 als Grenzwert oder ?

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{2^n}{5^{n-1}}=5\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{2^n}{5^{n-1}\cdot5}=5\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{2^n}{5^n}=5\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac25\right)^n$$$$\phantom{\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{2^n}{5^{n-1}}}=5\left(\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac25\right)^n+\left(\frac25\right)^0+\left(\frac25\right)^1-\underbrace{\left(\frac25\right)^0}_{=1}-\underbrace{\left(\frac25\right)^1}_{=\frac25}\right)$$$$\phantom{\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{2^n}{5^{n-1}}}=5\left(\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac25\right)^n-\frac75\right)=5\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac25\right)^n-7$$

Die unendliche Summe ist eine geometrische Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\), die für \(|q|<1\) gegen \(\frac{1}{1-q}\) konvergiert. Daher konvergiert die betrachtete Summe und es gilt:$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{2^n}{5^{n-1}}=5\cdot\frac{1}{1-\frac25}-7=5\cdot\frac{1}{\frac35}-7=5\cdot\frac53-7=\frac{25}{3}-\frac{21}{3}=\frac43$$

Comments

Danke dir. Wie kommst du auf diesen Teil bzw. wieso die Subtraktion ?

\( +\left(\frac{2}{5}\right)^{0}+\left(\frac{2}{5}\right)^{1}-\underbrace{\left(\frac{2}{5}\right)^{0}}_{=1}-\underbrace{\left(\frac{2}{5}\right)^{1}}_{=\frac{2}{5}}) \)

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Was ich vorher addiert habe, muss ich auch wieder subtrahieren, um den Wert der Summe nicht zu verändern.

Answer 2

Es lässt sich so schreiben:

2^n/(5^(n-1)) = 5* 2^n/5^n = 5*(2/5)^n

geometrische Reihe:

Der Summenwert ist: (5 vor die Summe ziehen)

5* (2/5)^2/(1-2/5) = 5* (4/25)/(3/5) = 5*4/25*5/3 = 4/3

Comments

Danke dir für die Antwort. Leider übereinstimmt das Ergebnis nicht mit dem der anderen aus den Kommentaren.

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Leider übereinstimmt das Ergebnis nicht mit dem der anderen aus den Kommentaren

.Wieso nicht? Lies mal nach bei Tschakabumba!