Grenzwert berechnen (mal anders)

Question

Aufgabe:

\(\lim_{x \to \infty} \left( \sin(\sqrt{x + 2024}) - \sin(\sqrt{x}) \right)\)

Problem/Ansatz:

Kann wer helfen wie man diesen grenzwert berechnet :0 ? Weil ich weiß nicht wie ich da überhaupt anfangen soll. Man sagte mir schon schon, dass ich da anders vorgehen soll, aber ich weiß nicht wie.

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Hier noch ein Weg mit dem Mittelwertsatz:

\(\sin\sqrt{x+2024} - \sin \sqrt x =\frac{\sin\sqrt{x+2024} - \sin \sqrt x}{\sqrt{x+2024} - \sqrt x} \cdot \left(\sqrt{x+2024} - \sqrt x\right)= ...\)

Jetzt auf den linken Faktor den MWS anwenden und den rechten Faktor geeignet umformen und Beschränktheit von \(\cos\) benutzen:

\(... = \cos \xi_x \cdot \frac{2024}{\sqrt{x+2024} + \sqrt x}\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}0\)

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Stimmt, das geht natürlich auch noch. Das Problem ist bei nur so, dass ich nicht genau weiß wie und wann man den Mittelwert benutzten kann

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Die Voraussetzungen für den MWS stehen im MWS. ;)

Answer 1

Versuche es mal mit \(\sin(a)-\sin(b)=2\cos(\frac{a+b}{2})\sin(\frac{a-b}{2})\). Die Argumente lassen sich dann sehr leicht untersuchen und damit auch das Produkt insgesamt.

Comments

Ahhhh.. stimmt ja, das gibt es ja auch noch. Uff... Darauf wäre ich nie von selbst gekommen

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Deswegen gibt es Formelsammlungen, wo man gelegentlich mal entsprechende Identitäten raussuchen kann, wenn es um trigonometrische Funktionen geht. :)