Behauptungen beweisen: a) Aus gleichmäßiger Konvergenz limn→∞ fn = f auf D folgt die gleichmäßige Cauchy-Eigenschaft auf D, d.h. zu jedem ε > 0 gibt es ein n0 ∈ ℕ mit |fn(x) - fm(x)| < ε für alle x ∈ D und m, n ∈ ℕ≥n0. b) Aus der gleichmäßigen Cauchy-Eigenschaft in a) folgt umgekehrt gleichmäßige Konvergenz limn→∞ fn = f auf D für eine Grenzfunktion f : D → ℝ∪ℂ. (Hinweis: Begründen Sie erst punktweise Konvergenz gegen eine Grenzfunktion f, überlegen Sie dann, was Sie durch Grenzübergang aus -ε < fn(x) - fm(x) < ε erhalten können.)
