Imaginäre Zahlen, Problem zu verstehen (Einfache Erklärung)

Question

Hallo Ihr lieben,

statt auf den Weltuntergang zu warten ärgere ich mich gerade mit meinem Verständnis zu den Imaginären Zahlen ab.

i=√-1 und i²=-1, soweit so gut, auf der Abzisse (wenn grafisch dargestellt) habe ich die realen Zahlen, auf der Ordinate die Imaginären von ... -3i, -2i, -1i, i, 1i, 2i, 3i ... doch was ist jetzt i? Wäre i jetzt der Nullpunkt auf der Skala? Welchen Wert hat i?

Folgendes: 3 + 2i = 3+2 * i, was soll denn dabei raus kommen? Die 2 im Imaginärteil, ist das einfach nur Koordinate auf der Ordinate und das  * i soll nur zeigen das mit "nicht realen Zahlen" gearbeitet wird?

 

Würde mich sehr (noch vor Weltuntergang) über eine hilfreiche Antwort freuen ;)

Ach zum Schluss, mein Buch schießt meiner Meinung nach direkt übers Ziel heraus, noch nie wurde von Vektoren gesprochen aber direkt bei den komplexen Zahlen erwähnt (nicht gerade toll wenn man nach dem "roten Faden" arbeiten will)," z = a+bi lässt sich als gerichteter Vektor (ab) ansehen" .. okay, was bedeutet das, was soll mir das sagen?

Comments

Übrigens ist

i=√-1

etwas, das man heute nicht mehr schreibt.

Viele Funktionen, die im reellen bekannt und wohldefiniert sind, bereiten im komplexen einige Schwierigkeiten. Die Wurzelfunktion gehört dazu. So etwas wie eine Wurzelfunktion gibt es im komplexen streng genommen gar nicht mehr, zumindest nicht die Wurzelfunktion.

Vielleicht kannst du das Dilemma teilweise nachvollziehen, wenn ich dir sage, dass auch -i ins Quadrat genommen -1 ergibt. Wenn man nun also

i=√-1

schreibt und es als Definition meint, dann ist es möglich, dass man +i mit -i verwechselt. Wäre das schlimm? Nun, eigentlich nicht, wenn man es konsequent macht. Eigentlich gibt es keinen Grund, warum eines der beiden besser geeignet sein sollte, die Wurzel aus -1 darzustellen, deswegen definiert man lieber

i² = -1

und überlässt es dem Leser, ob nun -i oder i die Wurzel aus -1 ist. Man geht sogar dazu über, so etwas wie die "Wurzel aus einer Zahl" gar nicht mehr so genau zu nehmen, weil es in komplizierteren Fällen sowieso nicht mehr eindeutig lösbar ist.

Answer 1

Um die komplexen Zahlen zu verstehen, ist es vielleicht sinnvoll, sich die reellen Zahlen als Straße vorzustellen.

 

Die Straße ist unendlich lang, im Normalfall kommst du problemlos von einer Seite zur anderen. Hin und wieder gibt es ausgehend von der Problemstellung aber Situationen, in denen der gerade Weg nicht der einfachste und kürzeste ist (manchmal ist der gerade Weg sogar unbefahrbar, die Straße hat ein "Loch"). In der echten Welt hat man kein Problem, man nimmt eine Umgehungsstraße, man weicht quasi in die nächste Dimension aus, denn die Straße ist ja nicht das einzige was existiert.

Es ist hilfreich sich die komplexen Zahlen als eine solche Ebene vorzustellen: die Hauptstraße ist der Zahlenstrahl ℝ doch rundherum liegen beliebig viele andere Zahlen, die sogenannten komplexen Zahlen.

Jetzt kann man jeden Punkt auf dieser Ebene durch die Angabe von zwei Koordinaten eindeutig festlegen. Man benutzt dafür den reellen Zahlenstrahl als eine Achse und wählt senkrecht dazu die sogenannte imaginäre Achse. Jetzt ist aus der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem geworden und jeder Punkt kann durch seinen "Realteil" und seinen "Imaginärteil" beschrieben werden.

 

Die imaginäre Achse läuft übrigens in den Schritten ...,-3i, -2i, -i, 0, i, 2i, 3i, ...

Auf der rellen Achse müssen ja gerade wieder die reellen Zahlen herauskommen, da gibt es kein i.

Deine Frage nach dem Zahlenwert von i lässt sich nicht beantworten. i ist definiert als die Zahl, deren Quadrat -1 ergibt. Offensichtlich kann das keine der "bekannten" reellen Zahlen sein, denn die haben alle positive Quadrate.

 

Eine andere mögliche Definition der komplexen Zahlen beginnt nicht mit der Definition von i, sondern sie geht direkt von der Ebene aus.

Hier bezeichnet man als ℂ die Menge der geordneten Paare (x, y) mit der gewöhnlichen Addition und der Multiplikation:

(x, y) * (v,w) = (x*v - y*w, x*w + y*v)

Man erkennt leicht, dass das neutrale Element dieser Multiplikation 1 = (1, 0) ist.

Außerdem gilt

(0,1)*(0,1) = (-1, 0) = -1

Nennt man nun i=(0,1), dann hat man eine alternative Definition der komplexen Zahlen als Vektoren des ℝ² gefunden.

 

Man kann die komplexen Zahlen auch als Menge von Matrizen mit dem gewöhnlichen Matrixprodukt einführen.

Die Definition lautet:

ℂ ist die Menge aller 2x2-Matrizen der Form

(a   b)

(-b  a)

mit a, b ∈ ℝ.

Auch hier findet man leicht das neutrale Element (die Einheitsmatrix) und die imaginäre Einheit

(0  1)

(-1 0)

 

Answer 2

i=√-1 und i²=-1, soweit so gut, auf der Abzisse (wenn grafisch dargestellt) habe ich die realen Zahlen, auf der Ordinate die Imaginären von ... -3i, -2i, -1i,0i=0, 1i, 2i, 3i ... doch was ist jetzt i? Wäre i jetzt der Nullpunkt auf der Skala? Welchen Wert hat i?

Nein i = 1*i. Auf der Abszisse hast du immer noch die reellen Zahlen, etwas anderes hat da keinen Platz, deshalb braucht man für die komplexen Zahlen eine Erweiterung in eine zusätzliche Dimension.

 

 

Folgendes: 3 + 2i = 3+2 * i, was soll denn dabei raus kommen? Die 2 im Imaginärteil, ist das einfach nur Koordinate auf der Ordinate und das  * i soll nur zeigen das mit "nicht realen Zahlen" gearbeitet wird?

3 + 2i ist ein Punkt. Den findest du, wenn du von 0 aus 3 nach rechts und 2 nach oben gehst.

 

Würde mich sehr (noch vor Weltuntergang: Da haben wir wohl alle Zeit der Welt zur Verfügung) über eine hilfreiche Antwort freuen ;)

" z = a+bi lässt sich als gerichteter Vektor (a,b) ansehen" .. okay, was bedeutet das, was soll mir das sagen?

Erinnerst du dich an die Definition der Addition mit ganzen Zahlen? Die kann man als Vektoraddition ansehen. Der zu einer ganzen Zahl gehörige Vektor zeigt (wie ein Pfeil) vom Nullpunkt zu eben dieser Zahl. Wenn man nun 2 Zahlen addiert hängt man die Pfeile aneinander. So kommt man darauf, dass 2 + 3 = 5 ist und 2 + (-3) = -1.

Vektoren haben eine Länge und eine Richtung. Man kann sie aber beliebig (parallel) verschieben. Aus der Schulgeometrie kennst du vielleicht noch die Parallelverschiebung. Sie ist durch einen Vektor von einem Punkt p zu seinem Bildpunkt P' vollständig beschrieben.

Zurück zu den Komplexen Zahlen:

" z = a+bi lässt sich als gerichteter Vektor (a,b) ansehen" Bei (a,b) Bitte ein Komma oder ein anderes 'Trennzeichen' ergänzen.

Wenn du die Punkte in der komplexen Zahlenebene mit Pfeilen von 0 aus anpeilst, hast du da Zahlenvektoren. Vektoraddition zeigt dir, wie die Addition den komplexen Zahlen vor sich geht. Z.B. (2+3i) + (2 - 3i) gibt nicht nur rechnerisch 4 sondern auch, wenn du die beiden Zahlenvektoren aneinander hängst. 

Skizze folgt.

 

Answer 3

Die rationale Zahl 4 lässt sich auch als Vektor auffassen. Und zwar ein Preil der auf dem Zahlenstrahl von der 0 zur 4 zeigt. Dieser Vektor hat dann die Länge 4.

Im komplexen werden die imaginären Zahlen in einem Koordinatensystem eingetragen.

a + bi hat die Koordinate (a | b)

Fasst man jetzt diese Zahl als Vektor auf, ist es ein Pfeil vom Koordinatenursprung zum Punkt (a | b). Dieser Vektor hat nach Pythagoras die Länge √(a^2 + b^2).