Soll man hier die de-L'Hospital-Regel benutzen?

Question

Aufgabe:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \Large\frac{e^{x}}{x^{n}}\normalsize \quad, \, n \in \mathbb{N} \)

Problem/Ansatz:

Soll ich hier L Hopital regel benutzen?

Comments

Weil die Leute seinen Namen immer falsch schreiben, und weil ich es noch interessant finde:

Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, Marquis de Sainte Mesme et de Mantellier, Comte d’Entremonts (das ist ein einziger Mensch, nicht vier), war adelig.

Die Formel kommt von Johann Bernoulli. Der war aus Basel, klug, arm, und hatte die Formel dem Adelsmann verkauft.

Ein ebenfalls adeliger Bundesverteidigungsminster hat diese Methode, berühmt zu werden, später weiterentwickelt dahingehend, dass man auch klauen kann ohne zu bezahlen.

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Alternativ gilt \(\dfrac{\mathrm e^x}{x^n}>\dfrac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\quad x^n\quad}=\dfrac x{(n+1)!}\) für alle \(x>0\).

Answer 1

Soll ich hier L Hopital regel benutzen?

Das scheint mir eine vernünftige Idee zu sein.

Am besten n-mal.

Answer 2

Aloha :)

L'Hospital ist hier nicht besonders gut geeignet.

Aus der Potenzreihendarstellung der Exponentialfunktion erkennst du für \(x>0\):$$e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\cdots\stackrel{(x>0)}{>}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$Daher gilt für \(x>0\):$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{x^n}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x}{(n+1)!}=\infty$$