Exponentialgleichung lösen

Question

Aufgabe:

Exponentialgleichung

Wurzel (8•3hochx) =5hoch1/x

Problem/Ansatz:

X₁= 1,01 x₂=-2,90

Comments

Heißt das \( \sqrt{8} \)·3^x=\( 5^{\frac{1}{x}} \)?

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Heißt das \( \sqrt{8} \)·3x=\( 5^{\frac{1}{x}} \)?

Nein, es heißt$$\sqrt{8\cdot3^{x}}=5^{\frac 1x}$$und da passt dann auch die Lösung dazu ;-)

Answer 1

Wurzel (8•3hochx) =5hoch1/x

\(\sqrt{8\cdot3^x}=5^{\frac{1}{x}}\)

\({8\cdot3^x}=(5^{\frac{1}{x}})^2\)

\({8\cdot3^x}=5^{\frac{2}{x}}\)

\({\ln8+x\ln3}={\frac{2}{x}}\ln5\)

\({x\ln8+x^2\ln3}={2}\ln5\)

\({x^2+x\dfrac{\ln8}{\ln3}}-{2}\dfrac{\ln5}{\ln3}=0\)

Jetzt würde ich mit den genäherten Dezimalzahlen weiterrechnen, da die genaue Lösung ziemlich wild aussieht.

\( x^2+1.89279x-2.92995=0\)

\(x_{12}=-\dfrac{1.89279}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1.89279^2}{4}+2.92995}\)

\(x_1\approx-2.90231 \qquad;\qquad x_2\approx 1.00952 \)

:-)

Comments

könntest du mir zeigen, wie man die Gleichung löst?

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Hallo Beauty,

ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

Answer 2

Aloha :)

$$\left.\sqrt{8\cdot3^x}=5^{\frac1x}\quad\right|\sqrt{\cdots}=(\cdots)^\frac12$$$$\left.\left(8\cdot3^x\right)^{\frac12}=5^{\frac1x}\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.\ln\left(\left(8\cdot3^x\right)^{\frac12}\right)=\ln\left(5^{\frac1x}\right)\quad\right|\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$$$\left.\frac12\ln\left(8\cdot3^x\right)=\frac1x\ln(5)\quad\right|\cdot2x$$$$\left.x\ln\left(8\cdot3^x\right)=2\ln(5)\quad\right|\ln(a\cdot b)=\ln(a)+\ln(b)$$$$\left.x\left(\ln(8)+\ln(3^x)\right)=2\ln(5)\quad\right|\ln(a^b)=b\cdot\ln(a)$$$$\left.x\left(\ln(8)+x\ln(3)\right)=2\ln(5)\quad\right|\text{links ausrechnen, rechts \(b\cdot\ln(a)=\ln(a^b)\)}$$$$\left.\ln(3)\cdot x^2+\ln(8)\cdot x=\ln(5^2)\quad\right|-\ln(5^2)$$$$\left.\ln(3)\cdot x^2+\ln(8)\cdot x-\ln(25)=0\quad\right|\colon\ln(3)$$$$\left.x^2+\frac{\ln(8)}{\ln(3)}\cdot x-\frac{\ln(25)}{\ln(3)}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=-\frac{\ln(8)}{2\ln(3)}\pm\sqrt{\frac{\ln^2(8)}{4\ln^2(3)}+\frac{\ln(25)}{\ln(3)}}=-\frac{\ln(8)}{2\ln(3)}\pm\sqrt{\frac{\ln^2(8)+4\ln(3)\ln(25)}{4\ln^2(3)}}$$$$x_{1;2}=\frac{-\ln(8)\pm\sqrt{\ln^2(8)+4\ln(3)\ln(25)}}{2\ln(3)}$$$$x_1\approx1,009522\quad;\quad x_2\approx-2,902311$$