Exponentialgleichung mit Hilfe von Logarithmen lösen: 4^2x = 2^x + 32

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung mit Hilfe von Logarithmen 4^2x = 2^x + 32

4^2x = 2^x + 32

Problem/Ansatz:

Ich habe wirklich alle Wege probiert die im Buch aufgelistet werden. Ich habe die 4 mit der Potenz 2 eingeklammert und daraus dann die 16 gemacht, dann die 2^x auf die andere Seite geschoben. So steht bei mir nun: 16^x - 2^x = 32

An dieser Stelle komme ich nun nicht weiter, Das richtige Ergebnis sollten ungefähr 1,2 sein.

Answer 1

Hi,

einen einfachen algebraischen Weg seh ich da auch nicht. Du kannst zwar substituieren und eine Lösungsformel für Gleichungen 4ten Grades verwenden, aber das ist wohl etwas aufwändig, zumal diese Lösungsformel nicht zum Allgmwissen gehört.

Substituieren würde ich wohl dennoch und dann ein Näherungsverfahren verwenden?!

16^x - 2^x = 32

2^(4x) - 2^x - 32 = 0

y^4 - y - 32 = 0

Mit Newtonverfahren:

x ≈ 1,2763

Grüße

Answer 2

du kannst \(4^{2x}\) zu \(\left(2^2 \right)^{2x}\) umwandeln, sodass deine Gleichung \(\left(2^2\right)^{2x}=2^x+32\) lautet.

Das kannst dann weiter umformen zu \(2^{2\cdot 2x}=2^x+32 \Leftrightarrow \left(2^x\right)^4=2^x+32\).

Answer 3

4^(2x) =2^x+32

4^(2x) -2^x-32 =0 ; z=2^x

z^4-z-32=0

weiter dann z.B mit der Newtonschen Näherungsverfahren.

Answer 4

Substitution y=2^x
y^4-y-32=0
kann neben dem Newton-Näherungsverfahren auch mit der exakten PQRSTUVW-Formel gelöst werden.
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php


Nach Rücksubstitution
x₄=log(2.42219804766641767796210825741)/log(2)=1.276316829815492970527716685...
Exakt ausgeschrieben (kein Schulstoff):
x = log((sqrt((2 (9 + sqrt(25165905)))^(1/3) - 256 (3/(9 + sqrt(25165905)))^(1/3)) + sqrt(256 (3/(9 + sqrt(25165905)))^(1/3) - (2 (9 + sqrt(25165905)))^(1/3) + 12/sqrt((2 (9 + sqrt(25165905)))^(1/3) - 256 (3/(9 + sqrt(25165905)))^(1/3))))/(2 6^(1/3)))/log(2)

Die 3 anderen Ergebnisse sind komplex.