Aufgabe
Hallo!
Ich stecke bei einer Aufgabe fest. Ich soll hier auf Stetigkeit überprüfen und eventuelle Unstetigkeitsstellen angeben. Des Weiteren muss ich einen sinnvollen Definitionsbereich angeben.
Ich habe zwar einen Ansatz formuliert, aber komme trotzdem nicht weiter. Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob der Gedankengang so stimmt und gegebenfalls auch meine Fehler korrigieren? Wie muss ich da genau vorgehen? Ich wäre wirklich froh, wenn jemand mit mir schrittweise die Aufgabe durchgehen kann, da ich sonst nicht weiterkomme.
Problem/Ansatz:
So sehen meine Berechnungen aus:
f) ist glaube ich nicht stetig und h) ist stetig, da wir als Grenzwert eine 0 erhalten. Ist die Überlegung so korrekt?
f) \( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)^{\top} \mapsto\left\{\begin{array}{ll}x \sin \left(\frac{y}{y}\right) & y \neq 0 \\ 0 & y=0\end{array} \Rightarrow\right. \) nicht stetig
h) \( \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mapsto\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} 2^{2}}{x^{2}+y^{2}} \\ 0\end{array} \quad \begin{array}{l}(x, y) \neq(0,0) \\ (x, y)=(0,0)\end{array} \Rightarrow\right. \) stetig
\( \begin{array}{l} \left(\frac{1}{n}\right) \mapsto \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}=\frac{\left(\frac{1}{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{1}{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{n}\right)}=12_{0}^{2} \\ \left(\frac{1}{n^{2}}\right) \mapsto \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{2} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}{\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{2}}=\frac{\frac{1}{n^{4}} \cdot \frac{1}{n^{4}}}{\frac{1}{n^{4}}+\frac{1}{n^{4}}}=\frac{\left(\frac{1}{n}\right) \cdot\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \cdot\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \cdot\left(\frac{1}{n^{2}}\right)}{\frac{1}{n^{2}} \cdot\left(\frac{1}{n^{2}}\right)+\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{n}=1 \Rightarrow \text { nictr sketig, da } 1 \neq 0 \end{array} \)
