Zeigen, dass Summe konvergiert und Wert approximieren (Leibniz-Kriterium)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die durch

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \Large \frac{(-1)^{n+1}}{9 \sqrt[3]{n}} \)

definierte Summe konvergiert und approximieren Sie den Wert bis auf einen Fehler von höchstens 0,025! (Hinweis: Leibniz-Kriterium.) Anschließend bestimmen Sie ob diese Reihe möglicherweise absolut konvergent ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich komme bei diesem Beispiel irgendwie nicht weiter. Ich weiß auch nicht so recht wie ich es angehen sollte, vielleicht kennt sich hier wer aus.

Answer 1

Hallo

1, zeigen dass die Summanden eine Nullfolge bilden ist sehr leicht

am besten 1/9 aus der Summe ziehen

2. rechne die ersten paar aus.

Comments

Okay und wenn die dann gegen Null gehen die Werte, die ich ausrechne in Schritt 2 ist es eine Konvergente Folge, nicht?

Oder ist sie dann absolut Konvergent? Was ist das überhaupt genau?

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Edit: Kommentar gelöscht, da falsch eingetippt in TR

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wenn die Reihe alterniert und die Summanden eine monotone Nullfolge bilden, konvergiert die Reihe und heisst nach Leibniz.

absolut konv. heisst es wenn man die Beträge der Summanden nimmt.

Welche konvergenten Reihen hattet ihr denn schon, Summanden mit 1/n^r konvergieren, wenn r>1

Welche Konvergenzkriterien kennst du oder hast du in deinem Skript?

lul

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wenn die Reihe alterniert und die Summanden eine Nullfolge bilden, konvergiert die Reihe und heisst nach Leibniz.

Eine Voraussetzung fehlt noch.

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Was fehlt? oder ist nur alternierend zu ungenau?

lul

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https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

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Danke Arsinoë4

ich habe  es verbessert.

Gruß lul

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Ja also ich hab für Leibnitz nun beide Kriterien erfüllt, also Grenzwert mit Limes geht gegen 0 und die Ungleichung für n+1, ist wahr.

Dann habe ich die ersten paar Summen gerechnet und sehe das die Vorzeichen alternieren und deshalb ist die Folge nur konvergent und nicht absolut konvergent.

Passt das so?

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Hallo

verbessert

für absolut konvergent du musst die Absoluteste der Summanden nehmen, also das (-1)ⁿ⁺¹ weglassen!

jetzt untersuchen ob die nicht alternierende Reihe konvergiert, Deshalb hab ich dich gefragt, Welche Kriterien für Konvergenz ihr hattet,

(Die Reihe absolut  ist  nicht konvergent, aber das musst du zeigen!)

lul

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die Absoluteste der Summanden

Was soll das sein?

Die Reihe ist absolut konvergent

Das darf bezweifelt werden.