Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Seien \( u_{0}, c>0 \) und \( \alpha>1 \). Bestimme eine Lösung von
\( \dot{u}(t)=c(u(t))^{\alpha}, \quad u(0)=u_{0} \);

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand die nötigen Schritte erklären, um das obige Dgl. zu lösen und wie man das maximale Existenzintervall dazu angibt. Ich weiß wenigstens das man es durch die Lösungsmethode "Trennung der Variablen" lösen kann.

Das ganze Thema dazu ist mir noch ganz neu, deshalb weiß ich nicht, wie ich das konkret lösen soll.

Über eine Erklärung würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Du kannst das ja so schreiben:

\(   \frac{du}{dt}  = c \cdot u^α  \)

und dann "trennen" , also alles mit u und du auf eine

Seite und t und dt auf die andere.

\(    u^{-α} \cdot  du   = c \cdot ct  \)

Beide Seiten integrieren gibt

\(  \frac{1}{1-α} \cdot u^{1-α} = c \cdot t   +  k   \)

\(  u^{1-α} = (  c \cdot t   +  k) \cdot (1-α)  \)

\(  u(t) = ((  c \cdot t   +  k) \cdot (1-α) )^\frac{1}{1-α} \)

und dann ist \(  u_0 = (k(1-α))  ^\frac{1}{1-α} \)

==>   \(  {u_0}^{1-α} = k(1-α) \)

==>   \(   k=\frac{ {u_0}^{1-α}}{1-α} \)

Also hat man

\(  u(t) = ((  c \cdot t   +\frac{ {u_0}^{1-α}}{1-α}  ) \cdot (1-α) )^\frac{1}{1-α} \)

\(  u(t) = (  c \cdot t \cdot (1-α)   +{u_0}^{1-α} )^\frac{1}{1-α} \)

Comments

Okay vielen Dank, ich hab das zuerst versucht formal, wie im Skript zu lösen und dabei kommen ich aber auf die gleiche Lösung. Aber diese Herangehensweise habe jetzt auch schon öfter gesehen und ist etwas klarer zu lösen.

Wie sieht es dann aber mit dem maximalen Existenzintervall aus? Finde es gerade schwierig herauszufinden, wie sich die Lösung asympotisch verhält wegen den weiteren Parameter c und alpha.

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Es ist α>1 also 1/(1-α) ein negativer Exponent,

somit muss die Basis positiv sein.

\(   c \cdot t \cdot (1-α)  +{u_0}^{1-α} > 0 \)

==> \( {u_0}^{1-α} >  -c \cdot t \cdot (1-α)  \)

==> \( {u_0}^{1-α} > c \cdot t \cdot (α-1)  \)

==> \(    \frac{{u_0}^{1-α}}{c \cdot (α-1) } > t  \)

Und dieser Bruch links hat ja einen positiven

Wert und das t muss also nur kleiner als

dieser Wert sein. Wenn t z.B. eine Zeit ist,

wäre dann wohl der sinnvolle Definitionsbereich

das Intervall von 0 bis zu diesem Wert (ausschließlich).