Gerade & Ebene orthogonal zueinander?

Question

Aufgabe:

"Ist g: x = (-2,0,1) + t *(3,0,-5) orthogonal zur Ebene E?" E: 2x1 + x2 + 4x3 = 5

Problem/Ansatz:

Guten Tag.
Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - wie gehe ich bei folgender Aufgabe vor?
Ich wäre jetzt mit dem Skalarprodukt vorgegangen und hätte den Richtungsvektor v = (3,0,-5) mit dem Normalenvektor u = (2,1,4) multipliziert. Spielt aber z.B. die 5 in der Koordinatengleichung eine Rolle? Oder ist das Skalarprodukt richtig?

Danke.

Answer 1

Aloha :)

Dein Plan ist vollkommen in Ordnung. Mit dem Skalarprodukt kannst du prüfen, ob der Richtungsvektor der Geraden parallel oder anti-parallel zum Normalenvektor der Ebene verläuft, denn nur dann steht die Gerade orthogonal zur Ebene.

Die \(5\) in der Ebenengleichung ist irrelevant, sie gibt Auskunft darüber, wie weit die Ebene vom Urpsrung entfernt ist. Diese Information brauchst du hier aber nicht. Für dich zählt die Orientierng der Ebenen im Raum.

$$\cos\alpha=\frac{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}\right\|}=\frac{6-20}{\sqrt{9+25}\cdot\sqrt{4+1+16}}\approx-0,5239\implies\alpha\approx58,4^\circ$$

Daher steht die Gerade nicht senkrecht auf der Ebene.

Comments

Vielen Dank!

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Mit dem Skalarprodukt kannst du prüfen, ob der Richtungsvektor der Geraden parallel oder anti-parallel zum Normalenvektor der Ebene verläuft,

Dafür wäre es aber erforderlich zu zeigen, dass dieses Skalarprodunkt maximal bzw. minimal wird. Das sehe ich in deinem Weg irgendwie nicht.

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Man kann mit dem Skalarprodukt auch den Winkel berechnen, was ich vorgeführt habe.

Answer 2

Es ist völlig überflüssg, den Winkel zwischen Gerade und Ebene zu berechnen.

Es genügt zu untersuchen, ob der Richtungsvektor der Geraden ein Vielfaches des Normalenveltors der Ebene ist.

Was Tschaka betrieben hat, ist unnötiger overkill.

Zudem fehlt bei ihm jegliche Information, was er mit der sinnlosen Kosinusformel berechnet hat.

Es ist ja nicht einmal der Winkel zwischen Gerade und Ebene. Es ist der Winkel, der sich mit dem Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene zu 90° ergänzt.

Die Krönung ist, dass er einem negativen Kosinus kommentarlos einen Winkel zwischen 0° und 90° zuordnet.

Zeige diese Lösungen bloß nicht deinem Mathelehrer, der haut sie dir um die Ohren.

Comments

Okay. Wie würde ich denn dann vorgehen? Einfach - wie in meiner Frage geschrieben - das Skalarprodukt nehmen?