Wert einer Summe berechen

Question

Aufgabe:

Man soll den Wert dieser beider Summen berechnen. Und das unter der Verwendung der Gaußschen Summenformel oder der Geometrischen Summenformel.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=0}^{10} \frac{-1}{2^{k+1}} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{7} \frac{(-1)^{k}}{3^{k}} \)

Answer 1

\(\sum \limits_{k=0}^{10} \frac{-1}{2^{k+1}} \)

\(=-\sum \limits_{k=0}^{10} \frac{1}{2^{k+1}} \)

\(=-\sum \limits_{k=0}^{10} (\frac{1}{2})^{k+1} \)

\(=- \frac{1}{2}  \sum \limits_{k=0}^{10} (\frac{1}{2})^{k} \)

Dann hast du die geometrische Reihe mit q=1/2 und n=10, also

\(=- \frac{1}{2}  \cdot \frac{ (\frac{1}{2})^{11}-1}{\frac{1}{2}-1} = (\frac{1}{2})^{11}-1   = \frac{1}{2048}-1 = -\frac{2047}{2048} \)

Die zweite so ähnlich mit q=-1/3