Aufgabe:
Hallo!
Könnt ihr mir eine Rückmeldung geben, ob ich richtig abgeleitet habe und eventuell auch meine Fehler korrigieren?
b) \( \quad t \longmapsto\left(\begin{array}{l}\left(\frac{t^{2}-1}{\sqrt{t^{2}-1}}\right. \\ (1-t) \cdot \sqrt{t}\end{array}\right) \)
\( f(t)=2 t \)
\( f(t)=\sqrt{t^{2}-1}=\left(t^{2}-1\right)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}\left(t^{2}-1\right)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{2} \sqrt{\left(t^{2}-1\right)^{3}} \)
\( f(t)=(1-t) \cdot \sqrt{t}=-1 \cdot \sqrt{t}=(1-t) \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) t^{-\frac{1}{2}} \)
\( =-\sqrt{t}+(1-t) \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{\left(\frac{1}{t}\right)^{3}} \)
c)
\( x \mapsto\left(\frac{x e^{-x^{2}}}{1+x^{2}}\right)= \)
\( f_{1}(x)=x \cdot e^{-x^{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=e^{-x^{2}} \cdot-2 x \cdot e^{-x^{2}} \)
\( f_{2}(x)=\frac{x}{1+x^{2}} \rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot\left(1+x^{2}\right)-x \cdot(2 x)}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{1+x^{2}-2 x^{2}}{1+2 x^{2}+x^{4}} \)
d)
\( f_{2}(x)=\frac{(\sin 2 x)^{1}}{x^{2}+1} \Rightarrow f_{2}^{\prime}(x)=\frac{1 \cdot \cos (2 x) \cdot 2 \cdot\left(x^{2}+1\right)-\sin 2 x \cdot 2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \)
\( =\frac{2 \cos (2 x) \cdot\left(x^{2}+1\right)-2 \sin (2 x)}{x^{4}+2 x^{2}+1} \)
l) \( x \rightarrow\left(\begin{array}{l}\frac{-\frac{x+1}{x}}{x \cdot \sin (x)} \cos (x)\end{array}\right) \)
\( \rightarrow f_{1}^{\prime}(x)=\left(\frac{x+1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}-(x+1)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{2}} \)
\( f_{2}(x)=x \cdot \sin (x) \cos (x) \rightarrow f_{2}^{\prime}(x)=\cos (x) \cdot \cos (x)+x \cdot \sin (x) \cdot(-\sin (x)) \)
\( =\cos ^{2}(x)-x \sin ^{2}(x) \)
