Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,125x3 - 0,75x2 + 4 Untersuchen Sie obige Funktion auf Nullstellen
Problem/Ansatz:
x1= -3+Wurzel 23 x2= -3- Wurzel 23 x3= 0
ist die Lösung richtig?
Wie kommst du denn auf \(x_3=0\) ?
Untersuchen Sie obige Funktion auf Nullstellen
ich habe die Funktion untersucht.
Und was ist die Frage?
Berechne \(f(-3+\sqrt{23})\), \(f(-3-\sqrt{23})\) und \(f(0)\),
Wenn 0 rauskommt, dann ist die Lösung richtig.
Es ist \(f(x)=0\iff 8\cdot f(x)=0\).
Wir suchen daher Lösungen von
\(8f(x)=x^3-6x^2+32=0\). In der (berechtigten) Hoffnung, dass
mindestens eine Nullstelle ganzzahlig ist, probieren wir es mit
den Teilern von \(32\) und finden in \(x_1=-2\) eine Nullstelle.
Die anderen möglichen Nullstellen finden wir nach Polynomdivision
durch \((x+2)\).
Bei manchen kubischen Parabeln kannst du auch die Nullstellen über die Extremwertbestimmung herausfinden:
\(0,125x^3-0,75x^2+4=0 \)
\(\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+4=0 |*8 \)
\(x^3-6*x^2+32=0 \)
\(f(x)=x^3-6*x^2+32 \)
\(f´(x)=3x^2-12*x \)
\(3x^2-12*x=0 |:3 \)
\(x^2-4*x=0\)
\(x*(x-4)=0\)
\(x₁=0\) \(f(0)=\frac{1}{8}*0-\frac{3}{4}*0^2+4=4 → keine Nullstelle\)
\(x₂=4\)
\(f´´(x)=6x-12 \)
\(f´´(4)=6*4-12=12>0→Minimum\)
Wie kommst du jetzt vom Extremwert auf die Nullstelle der Funktion ?
Gut , das habe ich vergessen:
\(4^3-6*4^2+32=0 →64-96+32=0\)
Ich bin mit der Antwort nicht zufrieden
Wie kommst du jetzt von den Extremwertender Funktion auf die Nullstellen der Funktion ?
Stellen mit waagerechter Tangentex = 0 und x = 4( siehe obigen Graph )
Nullstellen der Funktionx = -2 und x = 4
Auch wenn du die Extremwertstelle \(x=4\) in
\(f(x)=\frac{1}{8}*x^3-\frac{3}{4}*x^2+4 \) einsetzt, gibt es
\(f(4)=\frac{1}{8}*4^3-\frac{3}{4}*4^2+4 =8-12+4=0 \)
Somit ist bei \(x=4\) eine Nullstelle.
Red´ dich nicht raus. Bereue deineFehler.
Das verstehe ich jetzt aber gar nicht.
Die Grafik zeigt dir das du einen Nullpunktder Funktion mit x = -2 nicht über eine Extremwertberechnung gefunden hast.Du hast ihn gar nicht gefunden.
Wenn man bereits weiß, dass \(x_1=x_2=4\) eine doppelte Nullstelle von\(f(x)=x^3-6 x^2+32\) ist, dann weiß man auch, dass \(x_3=6-2\cdot4=-2\) die dritte sein muss.
\(f´´(0)=-12<0→Maximum \)
\(f´´(x)=0→6x-12=0\)→
\(x=2 Wendepunkt \)
\(f(2)=0,125*2^3-0,75*2^2+4= 1-3+4=2 \)
Gerade durch\( M(0|4) und W(2|2)\)
\( \frac{y-4}{x-0}=\frac{2-4}{2-0}=-1 \)
\( y=-x+4 \)
Nullstelle dieser Geraden ist \(x=4\)
Die erste Lösung kannst du raten: x1=-2.
(0,125x3 - 0,75x2 + 4)/(x+2) = 0,125x2-x+2
0,125x2-x+2 hat die Lösung x2=4.
Deine Nullstellen passen zu
\(f(x)= x^{3}+6 x^{2}-14 x \)
bzw.
\(f(x)= 0,125 x^{3}+0,75 x^{2}-1,75x \)
Da die gegebene Funktion anders aussieht, sind deine Lösungen falsch.
:-)
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