Aloha :)
Das Rechteck hat die Breite \(2z\) und die Höhe \(f(z)=e^{-z^2}\). Seine Fläche ist daher:$$F(z)=2ze^{-z^2}$$Kandidaten für Extremstellen finden wir dort, wo die erste Ableitung null wird:
$$F'(z)=2e^{-z^2}+2ze^{-z^2}(-2z)=2e^{-z^2}\left(1-2z^2\right)\stackrel!=0\implies z^2=\frac12\implies \boxed{z=\frac{1}{\sqrt2}}$$Da die Exponentialfunktion \(e^{-z^2}>0\) für alle \(z\) ist, kann nur der Term in Klammern gleich \(0\) werden. Da \(z\) als Abstand vereinbart wurde, wählen wir die positive Lösung.
Wir prüfen noch, ob bei \(z=\frac{1}{\sqrt2}\) tatsächlich ein Maximum vorliegt.$$F''(z)=2e^{-z^2}(-2z)\cdot(1-2z^2)+2e^{-z^2}\cdot(-4z)=4ze^{-z^2}\left(2z^2-3\right)\implies$$$$F''\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=-4\sqrt{\frac2e}<0\implies\text{Maximum}$$
~plot~ e^(-x^2) ; [[-3|3|-0,1|1,1]] ; 1/sqrt(e)*(x>=-1/sqrt(2))*(x<=1/sqrt(2)) ~plot~
Die Fläche beträgt übrigens:$$F_{\text{max}}=2\cdot\frac{1}{\sqrt2}e^{-\frac12}=\sqrt{\frac2e}$$
