Extremalproblem in Kombination mit einer Pyramide.

Question

Das Gerüst eines pyramidenförnigen Zelts mit quadratischem Grundriss besteht aus vier Stäben der Länge 3m. Wie entsteht ein Zelt mit größtmöglichem Rauminhalt?

Dies hier wäre mein Lösungsansatz, wobei ich mir hierbei nicht sicher bin, ob er stimmt. Würde mich freuen, falls mich jemand verbessern würde, insofern er einen Fehler findet.

Allerdings weiß ich nun nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Ich dachte daran, das Volumen nach Kettenregel abzuleiten, um so das x herauszufinden.

Würde mich über eine Rechnung mit Lösungsweg freuen, wobei ich es auch weiterhin selber probieren werde.

LG

Comments

Wenn du deinen Ansatz mit der Lösung von mathecoach vergleichst stellst du fest, dass dein Ansatz richtig ist.

Answer 1

Hier eine Antwort mit Skizze

V = 2 / 3 * ( 9*h - h^3 )
V ´( h ) = 2 / 3 * ( 9 - 3 * h^2 )
Extremwert
9 - 3 * h^2 = 0
h = √ 3

Answer 2

(a/2)^2 + (a/2)^2 + h^2 = 3^2 --> h = √((18 - a^2)/2)

V = 1/3·a^2·h = 1/3·a^2·√((18 - a^2)/2)

V' = √2·a·(36 - 3·a^2) / (6·√(18 - a^2)) = 0 --> a = 2·√3 = 3.464 m

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Da du das gleiche Ergebnis für h herausbekommen hast, bloß auf anderem Weg, stimmt dieser Teil meiner Rechnung schonmal.

Allerdings liegt mein Hauptproblem derzeitig darin, das Volumen abzuleiten. Ich weiß, dass es bei der Produktregel heißt u'•v+u•v' , aber ich habe Probleme dabei, wie genau ich die Wurzel ableiten soll. Ich dachte daran, es als hoch0,5 umzuschreiben, aber ich bin auch bei diesem Ansatz gescheitert.

Würde mich saher freuen, wenn du die Ableitung womöglich mit Zwischenschritt aufschreiben könntest, oder auch eine Erklärung liefern könntest, damit ich das besser verstehen kann, und in Zukunft auch selbst hinbekomme.

Danke auf jeden Fall für die Antwort nochmal! :)

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f(x) = √x = x^{1/2}

f'(x) = 1/2*x^{-1/2} = 1/(2*√x)

Ich würde den Bruch verwenden. Und nachher alles auf einen Hauptnenner bringen.

V = 1/3·a^2·√(9 - 1/2*a^2)

V' = 2/3·a·√(9 - 1/2*a^2) - 1/3·a^3·1/(2*√(9 - 1/2*a^2))

So ist das rein Formal schon richtig abgeleitet. Nur noch nicht zusammengefasst.