Nullstellen werden gesucht

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = 0,125x³ - 0,75x² + 4
Untersuchen Sie obige Funktion auf Nullstellen

Problem/Ansatz:

x₁= -3+Wurzel 23   x₂= -3- Wurzel 23   x₃= 0

ist die Lösung richtig?

Comments

Wie kommst du denn auf \(x_3=0\) ?

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Untersuchen Sie obige Funktion auf Nullstellen

ich habe die Funktion untersucht.

Und was ist die Frage?

Answer 1

Berechne \(f(-3+\sqrt{23})\), \(f(-3-\sqrt{23})\) und \(f(0)\),

Wenn 0 rauskommt, dann ist die Lösung richtig.

Answer 2

Es ist \(f(x)=0\iff 8\cdot f(x)=0\).

Wir suchen daher Lösungen von

\(8f(x)=x^3-6x^2+32=0\). In der (berechtigten) Hoffnung, dass

mindestens eine Nullstelle ganzzahlig ist, probieren wir es mit

den Teilern von \(32\) und finden in \(x_1=-2\) eine Nullstelle.

Die anderen möglichen Nullstellen finden wir nach Polynomdivision

durch \((x+2)\).

Answer 3

Bei manchen kubischen Parabeln kannst du auch die Nullstellen über die Extremwertbestimmung herausfinden:

\(0,125x^3-0,75x^2+4=0  \)

\(\frac{1}{8}x^3-\frac{3}{4}x^2+4=0  |*8  \)

\(x^3-6*x^2+32=0 \)

\(f(x)=x^3-6*x^2+32 \)

\(f´(x)=3x^2-12*x \)

\(3x^2-12*x=0  |:3 \)

\(x^2-4*x=0\)

\(x*(x-4)=0\)

\(x₁=0\)     \(f(0)=\frac{1}{8}*0-\frac{3}{4}*0^2+4=4 → keine    Nullstelle\)

\(x₂=4\)

\(f´´(x)=6x-12 \)

\(f´´(4)=6*4-12=12>0→Minimum\)

Comments

Wie kommst du jetzt vom Extremwert auf
die Nullstelle der Funktion ?

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Gut , das habe ich vergessen:

\(x^3-6*x^2+32=0 \)

\(4^3-6*4^2+32=0 →64-96+32=0\)

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Ich bin mit der Antwort nicht zufrieden

Wie kommst du jetzt von den Extremwerten
der Funktion auf die Nullstellen der Funktion ?

Stellen mit waagerechter Tangente
x = 0 und x = 4
( siehe obigen Graph )

Nullstellen der Funktion
x = -2 und x = 4

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Auch wenn du die Extremwertstelle \(x=4\) in

\(f(x)=\frac{1}{8}*x^3-\frac{3}{4}*x^2+4  \) einsetzt, gibt es

\(f(4)=\frac{1}{8}*4^3-\frac{3}{4}*4^2+4 =8-12+4=0 \)

Somit ist bei \(x=4\) eine Nullstelle.

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Red´ dich nicht raus. Bereue deine
Fehler.

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Das verstehe ich jetzt aber gar nicht.

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Die Grafik zeigt dir das du einen Nullpunkt
der Funktion mit x = -2 nicht über eine
Extremwertberechnung gefunden hast.
Du hast ihn gar nicht gefunden.

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Wenn man bereits weiß, dass \(x_1=x_2=4\) eine doppelte Nullstelle von
\(f(x)=x^3-6 x^2+32\) ist, dann weiß man auch, dass \(x_3=6-2\cdot4=-2\) die dritte sein muss.

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\(f´´(x)=6x-12 \)

\(f´´(0)=-12<0→Maximum \)

\(f´´(x)=0→6x-12=0\)→

\(x=2 Wendepunkt \)

\(f(2)=0,125*2^3-0,75*2^2+4= 1-3+4=2 \)

Gerade durch\( M(0|4) und W(2|2)\)

\( \frac{y-4}{x-0}=\frac{2-4}{2-0}=-1 \)

\( y=-x+4 \)

Nullstelle dieser Geraden ist \(x=4\)

Answer 4

Die erste Lösung kannst du raten: x₁=-2.

(0,125x³ - 0,75x² + 4)/(x+2) = 0,125x²-x+2

0,125x²-x+2 hat die Lösung x₂=4.      

Answer 5

Deine Nullstellen passen zu

\(f(x)= x^{3}+6 x^{2}-14 x \)

bzw.

\(f(x)= 0,125 x^{3}+0,75 x^{2}-1,75x \)

Da die gegebene Funktion anders aussieht, sind deine Lösungen falsch.

:-)