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Aufgabe:

Die folgenden Flächen 2.Ordnung sind auf Hauptachsenform \( 2 u \) bringe und \( z \) u diskutieren (Lage der Achsen, Asymptoten, Spitzen ete.):

(a) \( 2 x y+z^{2}=1 \) (Drehhyperboloid),

(b) \( 2 x y+z^{2}=0 \) (Doppellosel).
Fertigen Sie eine Skizze an!

(b) \( 2 x y+z^{2}=0 \)
1. Schnt. \( \quad A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \)

2. Schrit: \( \operatorname{det}(A-\lambda E)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow-\lambda^{3}+\lambda^{2}+\lambda-1=0 \backslash \lambda_{2}=-1 \)

3. Schritt: \( \lambda_{1}=1 \quad A=\left[\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] I+I \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad-x+y=0 \)
\( \vec{e}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \overrightarrow{e_{2}}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
\( \lambda_{2}=-1 \) \( \vec{e}_{3}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \)
\( A=\left[\begin{array}{lll|l}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll|l}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right] \quad \begin{array}{l}x+y=0 \\ x=-y \\ z=0\end{array} \)

4.Schritt: Egenoliticen mormalisieren \( \quad \frac{1}{\left\|e_{1}^{-2}\right\|}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \frac{1}{\left\|\dot{e}_{2}^{\prime}\right\|}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; \frac{1}{\left\|\vec{c}_{3}^{-1}\right\|}\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \) \( x_{1}=\sqrt{x^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2} \quad \sqrt{1}=1 \)
\( x_{2}=\sqrt{1}=1 \) \( x_{3}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0}=\sqrt{2} \)
\( P=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \)


Problem/Ansatz:

Ich versuche folgende Aufgabe zu lösen bin mir aber nicht sicher wie ich weiter rechne bzw. ob mein Rechenweg bisher passt.

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1 Antwort

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Hallo,


das sieht soweit alles korrekt aus (Gratuliere) und führt auf

blob.png

oder auf den entsprechenden Kegel...

dazu eine App für weitere Versuche

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

Avatar von 21 k

Also wäre meine Aufgabe so fertig? Wie komme ich auf die Spitze bzw. Lage der Achsen?

In der App findest Du einen Hinweis für die Berechnung des Mittelpunktes Mq(0,0,0) (wenn Du das mit Spitze meinst) und die Achsen findest Du in der Drehmatrix schließlich drehst Du die Quadrik auf die KO-Achsen

sb.gif ...

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