Finde orthogonal Transformation, die die quadratischen Formen in Hauptachsenform bringt.

Question

Aufgabe:

Finde orthogonal Transformation, die die quadratischen Formen in Hauptachsenform bringt.

• x₁²  + x₂²+5x₃² -6x₁x₂ -2x₁x₃ + 2x₂x₃

Problem/Ansatz:

Kann jemand eventuell die Lösung hier reinschreiben?

Habe mir videos angeschaut, wo man nur 2 Variablen hat, aber nicht so ganz verstanden.

Vielleicht wird es deutlicher, wenn man einmal den ganzen weg sieht, von dieser Aufgabe.

Comments

Eine hauptachsen transformation bezieht sich auf eine gleichung, du solltest dich damit beschäftigen die zumindest korrekt anzugeben?

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Mir wurde gesagt, ich soll zuerst daraus eine Matrix erstellen aus dieser Form die oben angegeben ist und dann daraus die eigenwerte und eigenräume. Die Eigenräume muss man dann normieren und dann in eine matrix bringen. Jedoch weiß ich nicht wie ich die anfangsmatrix aufstellen soll.

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In Matrix/Vektorschreibweise lautet die quadratische Form

\(\quad q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+5x_3^2-6x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3\\=\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-3&-1\\-3&1&1\\-1&1&5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.\)

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Achso, jetzt sehe ich es. Dankeschön.

Answer 1

Ok, sah irgendwie unvollständig aus.

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

setze q(x,y,z)=0

damit wäre eine Drehung aus den EV

\(R \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{-1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-2}{\sqrt{6}}&\frac{-1}{\sqrt{3}}&0\\\end{array}\right)\)

zu diag(EW)

\(D \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}6&0&0\\0&3&0\\0&0&-2\\\end{array}\right)\)

gesucht…