Aufgabe:
Die folgenden Flächen 2.Ordnung sind auf Hauptachsenform \( 2 u \) bringe und \( z \) u diskutieren (Lage der Achsen, Asymptoten, Spitzen ete.):
(a) \( 2 x y+z^{2}=1 \) (Drehhyperboloid),
(b) \( 2 x y+z^{2}=0 \) (Doppellosel).
Fertigen Sie eine Skizze an!
(b) \( 2 x y+z^{2}=0 \)
1. Schnt. \( \quad A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] \)
2. Schrit: \( \operatorname{det}(A-\lambda E)=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow-\lambda^{3}+\lambda^{2}+\lambda-1=0 \backslash \lambda_{2}=-1 \)
3. Schritt: \( \lambda_{1}=1 \quad A=\left[\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] I+I \rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad-x+y=0 \)
\( \vec{e}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \overrightarrow{e_{2}}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
\( \lambda_{2}=-1 \) \( \vec{e}_{3}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \)
\( A=\left[\begin{array}{lll|l}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll|l}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right] \quad \begin{array}{l}x+y=0 \\ x=-y \\ z=0\end{array} \)
4.Schritt: Egenoliticen mormalisieren \( \quad \frac{1}{\left\|e_{1}^{-2}\right\|}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \frac{1}{\left\|\dot{e}_{2}^{\prime}\right\|}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; \frac{1}{\left\|\vec{c}_{3}^{-1}\right\|}\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) \) \( x_{1}=\sqrt{x^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2} \quad \sqrt{1}=1 \)
\( x_{2}=\sqrt{1}=1 \) \( x_{3}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+0}=\sqrt{2} \)
\( P=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right] \)
Problem/Ansatz:
Ich versuche folgende Aufgabe zu lösen bin mir aber nicht sicher wie ich weiter rechne bzw. ob mein Rechenweg bisher passt.
