Einfacher Beweis der kleiner-gleich-Beziehung in den ganzen Zahlen

Question

Aufgabe:

Sei a Element der ganzen Zahlen

Beweise:

1. aus a größer-gleich 0 folgt a ist Element der Natürlichen Zahlen mit Null

2. aus a größer-gleich 0 folgt -a kleiner-gleich 0

Problem/Ansatz:

Ich brauche mal einen kurzen Crashkurs bzw. eine Lösung zu folgenden Problemen

Ansatz zu 1:

Beweis durch Wiederspruch

Annahme: a ist echt größer als 0. D. h. a hat einen Vorgänger auf den Natürlichen Zahlen mit der 0, denn 0=min(N₀)

daher a-1 ist größer gleich 0 und daher auch a größer gleich a-1

beide Seiten der Gleichung mit a subtrahieren

und der Wiederspruch 0 ist größer gleich -1

...? ich glaube so nicht.

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Wie lauten denn die Probleme, die du lösen willst?

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Oh das habe ich wohl falsch formuliert.

Das sind die Aufgaben:

Beweise:

1. aus a größer-gleich 0 folgt a ist Element der Natürlichen Zahlen mit Null

2. aus a größer-gleich 0 folgt -a kleiner-gleich 0

Answer 1

Sei a Element der ganzen Zahlen, also a∈ℤ

Beweise:

1. aus a≥0 folgt a ist Element der natürlichen Zahlen mit Null, also a∈ℕ₀.

Die positiven ganzen Zahlen sind ℕ. Die nicht-negativen ganzen Zahlen sind ℕ₀.

2. aus a ≥0 folgt -a≤ 0

Bei Multiplikation mit -1 dreht sich das Ungleichneitszeichen um.

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe. Also Nummer 2 ergibt Sinn aber Nummer 1 ist für mich noch nicht stimmig. Könntest du mir das ein wenig expliziter erklären. Die Aufteilung der natürlichen Zahlen verstehe ich zwar, aber wie soll ich dann einen Beweis aufbauen?

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Eigentlich gibt es hier nicht wirklich etwas zu beweisen. ℤ=ℕ₀ ∪ {negative ganze Zahlen}.