Ermittle das Verhältnis

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-4/5(x^2-4x-5)

Im Punkt P(0/f(0)) wird die Tangente an den Graphen von f gelegt. Ermittle das Verhältnis mit dem der Graph von f von dieser Tangente und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche teilt.

Problem/Ansatz:

Comments

der Graph von f von dieser Tangente

Fehlt hier ein Wort "die"? Dann würde es Sinn machen. Es ginge diesfalls um die grüne, dreieckige Fläche:

Die Tangentengleichung hat die Form y = mx + q mit m = f ' (0) und q = f(0).

Answer 1

f ( x ) = -4/5 * ( x^2 - 4*x - 5 )
f ( 0 ) = 4
P ( 0 | 4 )

Steigung
f ´( x ) = -8/5 * x + 16/5
f ´ ( 0 ) = 16/5

4 = 16/5 * 0 + b
b = 4

t ( x ) = 16/5 * x + 4
t ( x ) = 3.2 * x + 4

Am besten die Fläche unterhalb von rot
minus
die Fläche unterhalb von blau

Answer 2

P(0; 4) und f'(0)=16/5

==>  Tangente ist t(x)= (16/5)*x+4 und hat die Nullstelle -5/4.

Das Dreieck aus Tangente und den Achsenabschnitten hat also

die Fläche A=o,5*(5/4)*4=2,5.

f hat für x<0 die Nullstelle -1.

Also ist das eine Teilstück der Fläche zu berechnen durch

\(  \int \limits_{-1}^0 f(x)dx = \frac{32}{15}  \)

Das andere also \(  \frac{5}{2} - \frac{32}{15} =  \frac{11}{30}  \)

Damit ist das Verhältnis \(   \frac{32}{15} : \frac{11}{30} = 64:11 \)

Sieht so aus:  ~plot~ (-4/5)*(x^2-4x-5);(16/5)*x+4 ~plot~

Comments

Kannst du mir erklären woher kommt 16/5*x+4?

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Die Tangente hat die Steigung f ' (0) = 16/5 und der y-Achsenabschnitt ist 4.

Answer 3

Tangentengleichung:

t(x) = (x-0)*f'(0) +f(0) = (x-0)*16/5 + 4 = 16/5*x +4

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