Wie ermittle ich die Schnittpunkte von zwei Funktionen?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Für die Parabel habe ich $$p(x)=\frac{1}{2} (x+2)^2 -3$$ herausbekommen. Die Nullstellen der Funktionen kann man leicht bestimmen, aber ich weiß nicht, wie man die Schnittpunkte der beiden Funktionen ermitteln kann. Wenn ich beide gleichsetze, bekomme ich ein Polynom dritten Grades und dafür gibt es keine allgemeine Lösungsformel.

Answer 1

Aloha :)

Die Parabelgleichung passt. Die Schnittpunkte der beiden Funktionen erhältst du durch Gleichsetzen und Auflösen nach \(x\):

$$\left.\frac{1}{2}x^3+1=\frac{1}{2}(x+2)^2-3\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.x^3+2=(x+2)^2-6=x^2+4x-2\quad\right|\;\text{alles nach links auf die Seite}$$$$\left.x^3-x^2-4x+4=0\quad\right.$$$$\left.x(x^2-4)-(x^2-4)=0\quad\right.$$$$\left.(x-1)(x^2-4)=0\quad\right.$$$$\left.(x-1)(x-2)(x+2)=0\quad\right.$$Die Nullstellen liegen bei: \(x=-2,x=1,x=2\).

Comments

Hallo,

ich verstehe es nicht, was haben Sie in der zweiten Reihe gemacht.

Sollte es nicht, X^2+ 4 -6 sein.

Von wo haben Sie das X für die 4 und wieso ist -6 dann -2?

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(x+2)^2-6 = x^2+4x+4-6 = x^2+4x-6, 1.binom.Formel

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Dankeschön,

ich hab noch eine Frage

Was ist in der 3./4. Reihe passiert?

In der 3. Reihe verstehe ich nicht, warum die Vorzeichen verändert wurden?

Und wie wurde es in der 4. Reihe „gekürzt“?

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- Es wurde alles auf die linke Seite gebracht, also auf beiden Seiten abgezogen.

- Es wurde (x-1) ausgeklammert.

Answer 2

Einen Schnittpunkt findest du durch Ausprobieren, dann Polynomdivision und quadratische Gleichung lösen.

Tipp: Zwei ganzzahlige x-Werte erkennt man auf der Zeichnung.

Answer 3

Funktionen Gleichsetzen

1 + 1/2·x^3 = 1/2·(x + 2)^2 - 3

und nach x auflösen

x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = 1

Jetzt in eine Funktion einsetzen, um die Schnittpunkte zu bestimmen

f(-2) = -3 → (-2 | -3)
f(1) = 1.5 → (1 | 1.5)
f(2) = 5 → (2 | 5)