Wahrscheinlichkeit: Urne Kugeln

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich fünf gelbe, drei grüne und zwei rote Kugeln. Es werden zwei Kugeln zufallig ausgewählt und

(1) ohne Zurücklegen (2) mit Zurücklegen entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgendes Ereignis.

a) Mindestens eine Kugel ist gelb.

b) Höchstens eine Kugel ist grün.

c) Mindestens eine Kugel ist rot

d) Höchstens eine Kugel ist gelb.

Answer 1

Aloha :)

Urne = 5 gelbe + 3 grüne + 2 rote Kugeln

(1) 2 Ziehungen ohne Zurücklegen

$$p(\text{min. 1 Kugel ist gelb})=1-\underbrace{\frac{5}{10}}_{\text{grün oder rot}}\cdot\underbrace{\frac{4}{9}}_{\text{grün oder rot}}=1-\frac29=\frac79$$$$p(\text{max. 1 Kugel ist grün})=1-\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{grün}}\cdot\underbrace{\frac{2}{9}}_{\text{grün}}=1-\frac{6}{90}=\frac{84}{90}=\frac{14}{15}$$$$p(\text{min. 1 Kugel ist rot})=1-\underbrace{\frac{8}{10}}_{\text{gelb oder grün}}\cdot\underbrace{\frac{7}{9}}_{\text{gelb oder grün}}=1-\frac{56}{90}=\frac{34}{90}=\frac{17}{45}$$$$p(\text{max. 1 Kugel ist gelb})=1-\underbrace{\frac{5}{10}}_{\text{gelb}}\cdot\underbrace{\frac{4}{9}}_{\text{gelb}}=1-\frac{20}{90}=\frac{70}{90}=\frac{7}{9}$$

(2) 2 Ziehungen mit Zurücklegen

$$p(\text{min. 1 Kugel ist gelb})=1-\underbrace{\frac{5}{10}}_{\text{grün oder rot}}\cdot\underbrace{\frac{5}{10}}_{\text{grün oder rot}}=1-\frac{25}{100}=\frac{75}{100}=\frac34$$$$p(\text{max. 1 Kugel ist grün})=1-\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{grün}}\cdot\underbrace{\frac{3}{10}}_{\text{grün}}=1-\frac{9}{100}=\frac{81}{100}$$$$p(\text{min. 1 Kugel ist rot})=1-\underbrace{\frac{8}{10}}_{\text{gelb oder grün}}\cdot\underbrace{\frac{8}{10}}_{\text{gelb oder grün}}=1-\frac{64}{100}=\frac{36}{100}=\frac{9}{25}$$$$p(\text{max. 1 Kugel ist gelb})=1-\underbrace{\frac{5}{10}}_{\text{gelb}}\cdot\underbrace{\frac{5}{10}}_{\text{gelb}}=1-\frac{25}{100}=\frac{75}{100}=\frac34$$