Aloha :)
12 Kugeln, 3 rote, 9 schwarze, 4-mal Ziehen, Ereignis genau 2 rote Kugeln
a) Ohne Zurücklegen
Von den 3 roten Kugeln müssen genau 2 gezogen werden, dafür gibt es \(\binom{3}{2}\) Möglichkeiten. Von den 9 schwarzen Kugeln muss genau 1 gezogen werden, dafür gibt es \(\binom{9}{1}\) Möglichkeiten. Das sind insgesamt \(\binom{3}{2}\binom{9}{1}\) Möglichkeiten, bei denen das Eregins eintritt. Insgesamt gibt es \(\binom{12}{4}\) Möglichkeiten, aus 12 Kugeln genau 4 auszuwählen. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist daher:$$p_a=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{3}{2}\binom{9}{1}}{\binom{12}{4}}=\frac{3\cdot9}{495}=\frac{3}{55}\approx5,\overline{45}\%$$
b) Mit Zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ist konstant \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\). Die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Kugel ist konstant \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit errechnet man daher mit der Binomialverteilung:
$$p_b=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^2=6\cdot\frac{1\cdot9}{4^4}=\frac{54}{256}=\frac{27}{128}\approx21,09375\%$$
