Volumen: Körper mit Querschnittsfläche in jeder Höhe gleichseitiges Dreieck mit Seite a(z)=(-z²+36)/(6*√3)

Question

Maturabeispiel über Integrale und Volumen:
Gegeben ist ein Körper dessen Querschnittsfläche in jeder Höhe z∈ {0;6} ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a(z)=1/(6*√3) *(-z²+36) ist.

1). Begründe, warum das Volumen dieses Körpers als Integral dargestellt werden kann. (Skizze!)

2). Berechne das Volumen des Körpers.

Präzision: Die 6 und die Wurzel 3 sind unter dem Bruchstrich, der Rest nicht mehr

Comments

EDIT: erledigt.

---

Die 6 und die die Wurzel 3 sind unter dem Bruchstrich, der Rest nicht mehr

Answer 1

Das Volumen jedes Körpers kann errechnet werden, in dem man seine Grundfläche mit der Höhe multipliziert. Ändert sich die Grundfläche mit der Höhe, muss man abschnittsweise vorgehen und die jeweilige Grundfläche mit dem jeweiligen Anteil an der Höhe multiplizieren und diese Volumina am Ende alle aufsummieren. Das Ende dieser Überlegungen ist, wenn sich die Grundfläche ständig ändert, unendlich viele unendlich kleine Abschnitte zu generieren und diese dann aufzusummieren. Das ist genau die Definition eines Integrals.

Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks errechnet sich aus:

A = √3/4 * a²

Also in unserem Fall:

A(z) = (1/(6*√3) *(-z²+36))² * √3/4

A(z) = 1/(36*3) * (-z²+36)² * √3/4

A(z) = √3/432 * (-z²+36)²

A(z) = √3/432 * (z⁴ - 72 z² + 36²)

A(z) = √3/432 * z⁴ - √3/6 z² + 3*√3

 

Das Volumen errechnet sich aus dem folgenden Integral:

V = ∫(0..6) √3/432 * z⁴ - √3/6 z² + 3*√3 dz

V = [√3/2160 * z⁵ - √3/18 z³ + 3*√3 z]₀⁶

V = √3/2160 * 6⁵ - √3/18 * 6³ + 3*√3 * 6

V = 48*√3/5 VE = 16,6 VE

Comments

@HGF

" Die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks errechnet sich
  aus: A = √3/4 * a² "

 Ich habe : A = √3/8 * a²  ( siehe meine Antwort ).

  Ich kann momentan bei mir keinen Fehler finden.

  mfg Georg

---

Du rechnest den Flächeninhalt des Dreieckes nach

A = (a/2 *√3/4 * a² ) / 2

Du teilst quasi 2mal durch 2, bzw. halbierst die Seite a. Somit erhältst du nur den halben Flächeninhalt des Dreieckes. Deswegen steht bei dir eine 8 und bei mir eine 4.

Answer 2

  hier meine Rechnung. Siehe meinen Kommentar bei
der Rechnung von HGF.

 

  mfg Georg