Allgemeines charakteristisches Polynom zeigen

Question

Aufgabe:

$$Sei\ ein\ Körper\ und\ a0,\ a1,\ …,\ an−1\ ∈\ K.\\ Zeigen\ Sie,\ dass\ das\ charakteristische\ Polynom\ von\\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0& ... &0&-a_{0} \\ 1 & 0 & 0& ... &0&-a_{1} \\ 0& 1 & 0& ... &0&-a_{2}\\ 0& 0 & 1& ... &0&-a_{3} \\ .&.&.&. & &\\.&.&.& &. &\\.&.&.& & &.\\ 0& 0 & 0& ... &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}\\ gleich\ t^{n} + a_{n-1}t^{n-1}+a_{n-2}t^{n-2} +...+ a_{1}t+a_{0}\ ist.$$

Problem/Ansatz:

Mir ist grundsätzlich klar, dass das charakteristische Polynom zuerst über die Determinante gebildet wird. Die Matrix muss ich in der Diagonale um Lamda erweitern, da ich ja $$det(λ*I-A)=0$$ rechne. Nur ist mir nicht klar wie ich dann weiter machen soll. Meine vorläufige Lösung wäre

$$\begin{pmatrix} λ& 0 & 0& ... &0&-a_{0} \\ -1 & λ & 0& ... &0&-a_{1} \\ 0& -1 & λ& ... &0&-a_{2}\\ 0& 0 & -1& ... &0&-a_{3} \\ .&.&.&. & &\\.&.&.& &. &\\.&.&.& & &.\\ 0& 0 & 0& ... &-1&λ+a_{n-1}\end{pmatrix}=\\\begin{pmatrix} λ& 0 & 0& ... &0&a_{0} \\ 0 & λ & 0& ... &0&a_{1} +\frac{a_{0}}{2}\\ 0& 0 & λ& ... &0&a_{2} +\frac{a_{1} +\frac{a_{0}}{2}}{λ}=a_{2} +\frac{a_{1}}{λ} +\frac{a_{0}}{λ^{2}}\\ .&.&.&. & &.\\.&.&.& &. &.\\.&.&.& & &.\\ 0& 0 & 0& ... &0&λ+a_{n-1} +\frac{a_{n-2}}{λ} +\frac{a_{n-3}}{λ^{2}}+....\end{pmatrix}$$

nur eben wie mach ich jetzt weiter?

Answer 1

Hm,

Ex(s,z,k,n): Zeile s += k Zeile z

Ex(1,2,λ,4) Ex(2,3,λ,4) Ex(3,4,λ,4) (λ Identity(4)- A(4))

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&\lambda^{4} + a\left(0 \right) + \lambda \; a\left(1 \right) + \lambda^{2} \; a\left(2 \right) + \lambda^{3} \; a\left(3 \right)\\-1&0&0&\lambda^{3} + a\left(1 \right) + \lambda \; a\left(2 \right) + \lambda^{2} \; a\left(3 \right)\\0&-1&0&\lambda^{2} + a\left(2 \right) + \lambda \; a\left(3 \right)\\0&0&-1&a\left(3 \right) + \lambda\\\end{array}\right)\)

Entwicklung nach 1 Zeile:

(evtl. mit Induktion n -> n+1) aufschreiben....