Matrix finden so, dass J=g^-1Ag in Jordannormalform ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Matrix A=

8	18	-11
1	0	2
2	-2	5

eine Matrix g∈GL3(R), so dass J=g^-1Ag in Jordan- Normalform ist.

Problem/Ansatz:

Eigenwerte lauten: 1,6,6
weiter komme ich irgendwie nicht könnte jemand die aufgabe für mich lösen? Danke!!!

Answer 1

Da wäre dann der Eigenraum

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrr}7&18&-11\\1&-1&2\\2&-2&4\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&6&\left(\begin{array}{rrr}2&18&-11\\1&-6&2\\2&-2&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(EV \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right)\)

Wir müßten also zu λ=6 Hauptvektoren suchen

Suche HV ∈ Ker (A-λE)^N mit dim Ker (A-λE)^N = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λE)^N-1

(A - 6 E)^2 =\(\small \, \left(\begin{array}{rrr}0&-50&25\\0&50&-25\\0&50&-25\\\end{array}\right)\)

===>

\(HVKandidaten1u \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&0\\0&\frac{1}{2}\\0&1\\\end{array}\right)\)

(A - 6 E)^(1) HVKandidaten1u ≠ 0

 ===>

\(\small   \, \left(\begin{array}{rr}2&-2\\1&-1\\2&-2\\\end{array}\right)\)

Nehmen wir die HV der ersten Spalte plus den EV zu λ=1

===>

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&2&1\\1&1&0\\1&2&0\\\end{array}\right)\)

\(\small D \, :=  \, T^{-1} \; A \; T =  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&6&1\\0&0&6\\\end{array}\right)\)

Comments

Herzlichen dank

Answer 2

Was genau bereitet dir Schwierigkeiten? Die Jordannormalform oder die Bestimmung der Matrix G?

Comments

Bei der Aufgabe tatsächlich beides ich habe ein brett vorm kopf…

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Ich würde zunächst die Jordannormalform bestimmen und dann erst die Matrix. Die Eigenwerte und die Algebraische Vielfachheit kannst du aus dem charakteristischen Polynom ablesen und die Nilpotenzordnung aus dem Minimalpolynom. Sagen dir diese Begriffe etwas?

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Also Nilpotenzordnung und Minimalpolynom hab ich noch nicht gehört. Wir haben das glaube ich über den Kern gemacht und dann ein Komplement rechnen…

Magst du mir die aufgabe einmal durchrechnen?

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Bin mir nicht sicher, ob ich dir da sehr behilflich sein kann, da ich in meinem Studium die Jordannormalform mithilfe des Minimalpolynoms bestimmt habe, aber ich kann ja mal den Anfang machen:

Zunächst wollen wir ja die Eigenwerte ermitteln det(A-λ*E) = |{{8-λ, 18, -11}, {1, 0-λ, 2}, {2, -2, 5-λ}}| = -λ^3+13*λ^2-48*λ+36 = -(λ-1)*(λ^2-12*λ+36) = -(λ-1)*(λ-6)^2 = 0, also sind 1 und 6 unsere Eigenwerte. Aus dem charakteristischen Polynom kann man direkt die algebraische Vielfachheit herauslesen, zum Eigenwert 1 ist sie 1 und zu 6 gleich 2.

Ab diesem Punkt würde ich ja versuchen, das Minimalpolynom zu verwenden. Da du aber sagst, dass ihr das über den Kern gemacht hat, kann ich dir nicht weiterhelfen. Vermutlich musst du dim ker(A - 3*E) und dim ker(A - 3*E)^2 berechnen [vermutlich ist lauten die Ergebnisse 1 und 2 (?)].

Schlussendlich sollte deine Jordanormalform so aussehen:

J=({{1, 0, 0}, {0, 6, 1}, {0, 0, 6}})

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Für die Matrix G würde ich zunächst die h_i-zyklische Basen der Haupträume bestimmen. Habt ihr denn schon Haupträume in der Vorlesung besprochen?

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Dankeschön.

Ja haupträume haben wir besprochen…