Bestimmen Sie den Wert von b, für den der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal ist

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion: f(x) = x² * e^-0.2x und die Punkte A(0|0) B(b|0).

Für jeden Wert von b in [0;100] sind A und B und C gegeben. C hat die x-Koordinate b und liegt auf f(x). Bestimmen Sie den Wert von b, für den der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal ist, und geben Sie den zugehörigen Flächeninhalt an.

Problem/Ansatz:

Ich komme hier leider nicht weiter als den Punkt C in Abhängigkeit von b aufzustellen. Wäre toll, wenn mir jemand zeigen könnte, wie diese Aufgabe funktioniert. Danke!

Answer 1

1. Haupbedingung aufstellen.

   Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal

   Flächeninhalt eines Dreiecks mit Grundseite \(g\)  und Höhe \(h\) ist

   (1)        \(F = \frac{1}{2}\cdot g\cdot h\).

2. Nebenbedingungen aufstellen.

   A(0|0) B(b|0). ... C hat die x-Koordinate b

   Damit ist das Dreieck rechtwinklig mit rechtem Winkel bei \(B\). Man kann deshalb eine Kathete als Grundseite und die andere als Höhe verwenden.

   (2)        \(g = b\)
   

   (3)        \(h = f(b) = b^2\cdot\mathrm{e}^{-0{,}2b}\)
   

3. Zielfunktion aufstellen.

   Dazu (2) und (3) in (1) einsetzen.

         \(F(b) = \frac{1}{2}\cdot b\cdot b^2\cdot\mathrm{e}^{-0{,}2b}\)

4. Den passenden Extrempunkt der Zielfunktion bestimmen.