Für welche p besitzt A keine Inverse A−1?

Question

Aufgabe: Für welche p besitzt A keine Inverse A−1 ?

Problem/Ansatz: ich habe die Parameter p2 und p3 und kann p1 nicht finden

Gegeben ist die Matrix \( A \) in Abhängigkeit von Parameter \( p \).
\( A=\left[\begin{array}{ccc} p+2 & -1 & 1 \\ 5 & p-4 & 1 \\ 2 & -2 & p+3 \end{array}\right] \)
Für welche \( p \) besitzt \( A \) keine Inverse \( A^{-1} \) ?

Habe bisher \((p_1, -1, -3)\)

Answer 1

\(A\) besitzt keine Inverse, wenn

        \(\det A = 0\)

ist.

Answer 2

Aloha :)

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne 0\) ist.

Wir suchen alle \(p\)-Werte, für die die Matrix nicht invertierbar ist, suchen also die Nullstellen der Determinante.

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}p+2 & -1 & 1\\5 & p-4 & 1\\2 & -2 & p+3\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(p+2)\cdot((p-4)(p+3)+2)-(-1)\cdot(5(p+3)-2)+1\cdot(-10-2(p-4))$$$$\phantom{0}=(p+2)\cdot(p^2-p-10)+5(p+3)-2-10-(2p-8)$$$$\phantom{0}=p^3-p^2-10p+2p^2-2p-20+5p+15-12-2p+8$$$$\phantom{0}=p^3+p^2-9p-9=(p^3-9p)+(p^2-9)=p(p^2-9)+(p^2-9)$$$$\phantom{0}=(p+1)(p^2-9)=(p+1)(p+3)(p-3)$$

Die gesuchten \(p\)-Werte sind also: \((-1)\), \((-3)\) und \((+3)\).