wie nähert man durch Polynomen ersten und zweiten Grades an?

Question

Aufgabe:

f : ( 0 , +∞ ) → ℝ mit f(x) \( \frac{1}{x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Wie nähert man f in der Umgebung des Punktes x₀ = 1 durch Polynomen nullten, ersten und zweiten Grades an

Answer 1

Hallo,

Wie nähert man f in der Umgebung des Punktes x0 = 1 durch Polynomen nullten, ersten und zweiten Grades an

indem man den Funktionswert an der Stelle \(x_0\) nimmt (0. Grades) $$f(x) \approx f(x_0)$$und die Steigung von \(f\) (reicht für 1. Grades) $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$ und auch die zweite Ableitung (Steigung der Steigung) noch mit berücksichtigt, dann ist es zweiten Grades$$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac12 f''(x_0)(x-x_0)^2$$Hier ist$$f(x) = \frac1{x^2}\quad f'(x)=-\frac2{x^3} \quad f''(x)=\frac6{x^4}$$Damit ergibt sich konkret für eine Annäherung zweiten Grades:$$f(x) \approx 1 -2(x-1) +3(x-1)^2$$und so sieht das dann aus

https://www.desmos.com/calculator/muxv9cdmjr

die rote Kurve ist der Graph von \(f\) und die Graphen der 0'ten, 1'ten und 2'ten Annäherung sind schwarz, grün und blau.

Gruß Werner

Answer 2

x₀=1 ist eine Stelle. Der Punkt an dieser Stelle heißt P(1|1).

Eine Annäherung durch ein Polynomen nullten Grades gibt es nicht

Eine Annäherung durch ein Polynomen ersten Grades ist die Tangente in P an den Graphen von f.

Eine Annäherung durch ein Polynomen zweiten Grades stimmt einer ersten und in der zweiten Ableitung mit f überein.