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Aufgabe:

f : ( 0 , +∞ ) → ℝ mit f(x) 1x2 \frac{1}{x^{2}}


Problem/Ansatz:

Wie nähert man f in der Umgebung des Punktes x0 = 1 durch Polynomen nullten, ersten und zweiten Grades an

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Hallo,

Wie nähert man f in der Umgebung des Punktes x0 = 1 durch Polynomen nullten, ersten und zweiten Grades an

indem man den Funktionswert an der Stelle x0x_0 nimmt (0. Grades) f(x)f(x0)f(x) \approx f(x_0)und die Steigung von ff (reicht für 1. Grades) f(x)f(x0)+f(x0)(xx0)f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) und auch die zweite Ableitung (Steigung der Steigung) noch mit berücksichtigt, dann ist es zweiten Gradesf(x)f(x0)+f(x0)(xx0)+12f(x0)(xx0)2f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac12 f''(x_0)(x-x_0)^2Hier istf(x)=1x2f(x)=2x3f(x)=6x4f(x) = \frac1{x^2}\quad f'(x)=-\frac2{x^3} \quad f''(x)=\frac6{x^4}Damit ergibt sich konkret für eine Annäherung zweiten Grades:f(x)12(x1)+3(x1)2f(x) \approx 1 -2(x-1) +3(x-1)^2und so sieht das dann aus

die rote Kurve ist der Graph von ff und die Graphen der 0'ten, 1'ten und 2'ten Annäherung sind schwarz, grün und blau.

Gruß Werner

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x0=1 ist eine Stelle. Der Punkt an dieser Stelle heißt P(1|1).

Eine Annäherung durch ein Polynomen nullten Grades gibt es nicht

Eine Annäherung durch ein Polynomen ersten Grades ist die Tangente in P an den Graphen von f.

Eine Annäherung durch ein Polynomen zweiten Grades stimmt einer ersten und in der zweiten Ableitung mit f überein.

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