Vektorunterraum beweisen mit Polynomen 5. Grades.

Question

Gegeben sei eine Teilmenge W eines Vektorraums V. Beweisen Sie, das W ein Unterraum von V ist und bestimmen Sie die Dimension von W

V = ∏₅ (Polynome 5. Grades)   ,  W := span {x⁴+x³, x⁵-x⁴-x, 2x⁵+x⁴+3x³+x, 2x⁵+x³}.

wie geht man vor ?

Answer 1

Der Span von irgendwas ist immer ein Untervektorraum des ganzen VRs.

Die vier gegebenen Elemente bilden ein Erzeugendensystem, bleibt zu

prüfen, ob sie lin. unabh. sind.

Und das sind sie:

mache einfach einen Ansatz von der Art:

a*(x⁴+x³)+b*( x⁵-x⁴-x)+c*( 2x⁵+x⁴+3x³+x ) + d*( 2x⁵+x³)  = 0

und sortiere:(b+2c +2d )*x⁵ + (a - b + c )*x⁴ + ...   = 0

Dann müssen die Klammern alle 0 sein und daraus folgt a=b=c=d=0

Also sind die gegebenen 4 eine Basis für den Span, also dim=4