span{x1, . . . , xn} = span{u, x2, . . . , xn} beweisen Vektorraum

Question

Aufgabe:

Sei V ein K-Vektorraum und seien x1, . . . , xn ∈ V . Seien α, β ∈ K, α ungleich 0, und u = αx1 + βx2.
Man zeige, dass dann span{x1, . . . , xn} = span{u, x2, . . . , xn} ist.

Hinweis: Sie mussen zeigen, dass jedes ¨ v ∈ span{x1, . . . , xn} auch in span{u, x2, . . . , xn} ist, und
umgekehrt.

Problem/Ansatz:

Leider weiß ich nicht genau weiter...

Answer 1

Sei v ∈ span{x1, . . . , xn} es ist u = αx1 + βx2. mit α≠0

==> Es gibt a1,...,an aus K mit v= a*x1 +...+an*xn  #

und aus u = αx1 + βx2   folgt wegen α≠0

x1 = (u - ßx2)/α =   (1/α)*u - (ß/α)x2

Das setzt du bei # ein und hast eine Darstellung mit

u , x2 , ..., xn also v ∈  span{u, x2, . . . , xn} .

Umgekehrt ähnlich ersetze u durch αx1 + βx2

Comments

Verstehe nicht ganz wie du das meinst mit dem x1, wie setzt man es in #? (Sorry für die blöde frage, verstehe gerade es nicht)

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Du hast    x1 =  (1/α)*u - (ß/α)x2

und v= a1*x1 +...+an*xn #

daraus wird dann

         v= a1*( (1/α)*u - (ß/α)x2) +...+an*xn

          = (a1/α) ) * u + (-a1)*ß/α)x2 +...+an*xn

also in span{u, x2, . . . , xn} .

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Und umgekehrt heißt man setzt

v ∈  span{u, x2, . . . , xn}  voraus oder?

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Und in welches u einsetzen? In das von

span{u, x2, . . . , xn}?

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man setzt

v ∈  span{u, x2, . . . , xn}  voraus oder?   Ja

Und in welches u einsetzen?

Beginne mit  v ∈  span{u, x2, . . . , xn}

==>  Es gibt a1,a2,...,an mit

v = a1u + a2x2+...+anxn und hier einsetzen

v = a1( αx1 + βx2 ) + a2x2+...+anxn

=  a1*αx1 + a1*βx2  + a2x2+...+anxn

   =  a1*αx1 + (a1*β  + a2)x2+...+anxn

also v ∈ span{x1, . . . , xn}