M ⊆ N > span M ⊆ span N beweisen oder widerlegen

Question

 ich bräuchte Hilfe bei der folgenden Aufgabe: 
Seien M und N zwei endliche Teilmengen des Vektorraums V. Beweisen oder widerlegen sie die folgende Aussage: Aus M ⊆ N folgt span M ⊆ span N 

Answer 1

stimmt !

Beweis:  Sei x aus  span M  und da M endlich ist sei etwa M = { a₁; a₂; ,..... , a_k }

also gibt es z1 bis zk aus dem Körper über dem dieser Vektorraum betrachtet wird ( etwa IR ) .

mit   x = Summe i = 1 bis k über  z_i*a_i  .

Da M ⊆ N  und auch N endlich, gibt es außer den a_i eventuell noch h weitere b_j in M.

Dann setzt du einfach die Faktoren für diese b's gleich 0 und hast

x = Summe i = 1 bis k über  z_i*a_i  + Summe i = 1 bis h über  0*b_i   und damit eine Darstellung als Linearkombination der Elemente von N, also x aus  span N .

q.e.d.

Comments

Vielen Dank für die Schnelle Hilfe! 

Ich hätte noch eine Frage zu deiner Lösung. 

Wie kommst du bei der 2. Summe auf 0*bi ? 

Und bei der Aufgabe 

Aus span M ⊆ span N folgt M ⊆ N. 

glaube ich, dass die Aussage falsch ist und suche ein Gegenbeispiel 

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Um zu zeigen, dass x aus span N ist, musst du doch

eine Linearkombination x mit den Elementen von N angeben.

Alle, die nicht in M liegen, bekommen deshalb den Faktor 0

und tragen sozusagen nicht zum Ergebnis bei.

Die zweite Summe liefert also nur den Nullvektor.

Aus span M ⊆ span N folgt M ⊆ N. 

glaube ich, dass die Aussage falsch ist und suche ein Gegenbeispiel

Da hast du recht.

nimm etwa Teilmengen von IR^2. und zwar

M = { (1;0) ; ( 0;1) }   und  N = = { (1;0) ; ( 0;1) ; (1;1) }

Der span ist in beiden Fällen ganz IR^2. also span M ⊆ span N

aber offenbar nicht M ⊆ N.