Gegebene Teilmenge zuordnen mit Begründung, ob spanℝ(M) = ℝ^3 ist

Question

Im folgenden ist eine Teilmenge M ⊆ ℝ³ gegeben. Entscheide jeweils (mit Begründnung!), ob span_ℝ(M) = ℝ³ ist:

(a) M = { (1, 2, 3), (4, 5, 6,), (7, 8, 9,) }

(b) M = { ( a, a², a³) : a ∈ ℝ }

(c) M = { (1, a, 0), (a, 0, 1), (0, 1, a) } , wobei a ∈ ℝ gegeben ist.

Answer 1

Ein Anfang:

ob span_ℝ(M) = ℝ³ ist:

(a) M = { u= (1, 2, 3), v = (4, 5, 6,), w = (7, 8, 9,) }

w-v = v -u  

Daher

u - 2v + w = 0

Die drei Vektoren sind linear abhängig. ==> span_ℝ(M) = ℝ³  , Denn R^3 hat die Dimension 3 und dim ( span_ℝ(M) ) < 3. 

(b) M = { ( a, a², a³) : a ∈ ℝ }

(c) M = { (1, a, 0), (a, 0, 1), (0, 1, a) } , wobei a ∈ ℝ gegeben ist.