Aloha :)
Die Tangente an \(f_t(x)=x+\frac{t(t-2)}{x}\) im Punkt \(P(x_p|y_p)\) lautet:$$g_t(x)=f_t(x_p)+f'_t(x_p)\cdot(x-x_p)=f_t(x_p)+\left(1-\frac{t(t-2)}{x_p^2}\right)\cdot(x-x_p)$$Diese Tangente schneidet die \(y\)-Achse auf der Höhe:$$g_t(0)=f_t(x_p)+\left(1-\frac{t(t-2)}{x_p^2}\right)\cdot(-x_p)=f_t(x_p)-x_p+\frac{t(t-2)}{x_p}$$$$\phantom{g_t(0)}=\left(x_p+\frac{t(t-2)}{x_p}\right)-x_p+\frac{t(t-2)}{x_p}=\frac{2t(t-2)}{x_p}$$
Damit sind die Eckpunkte des Dreiecks bekannt:$$O(0|0)\quad;\quad P(x_p|f_t(x_p))\quad;\quad Y\left(0\bigg|\frac{2t(t-2)}{x_p}\right)$$
Die Fläche des von den beiden Vektoren \(\overrightarrow{OP}\) und \(\overrightarrow{OY}\) aufgespannte Parallelogramms bestimmen wir mit dem Betrag der Determinante. Die Fläche \(F\) des Dreiecks ist halb so groß:$$F=\frac12\operatorname{abs}\left(\left|\begin{array}{cc}x_p & 0\\f_t(x_p) & \frac{2t(t-2)}{x_p} \end{array}\right|\right)=\frac12\operatorname{abs}\left(x_p\cdot\frac{2t(t-2)}{x_p}\right)=\left|t(t-2)\right|$$
Die Fläche \(F\) hängt nur von \(t\) ab und ist völlig unabhängig von der Wahl des \(x_p\). Insbesondere wird nun auch klar, warum in der Aufgabenstellung die Fälle \(t=0\) und \(t=2\) ausgeschlossen wurden. Genau in diesen beiden Fällen entsteht gar kein Dreieck, die Fläche \(F\) wäre \(=0\).
